2012年北京市海淀区高三一模理科数学试题

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，，且，那么的值可以是（A）（B）（C）（D）（2）在等比数列中，，则=（A）（B）（C）（D）（3）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是（A）（B）开始n=5，k=0n为偶数n=1输出k结束k=k+1是否是否（C）（D）（4）已知向量，若与垂直，则（A）（B）（C）2（D）4（5）执行如图所示的程序框图，输出的值是（A

2、）4（B）5（C）6（D）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A）12（B）24（C）36（D）48（7）已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）或（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为（A）0（B）3（C）4（D）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数=.（10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是.（

3、11）若，则=.（12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是.（13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么=，=.（14）已知函数则（ⅰ）=；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在中，角，，的

4、对边分别为，且，，成等差数列.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）设，求的最大值(16)（本小题满分14分）在四棱锥中，//，，，平面，.（Ⅰ）设平面平面，求证：//；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校6

5、00名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；新课标第一网

6、（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合.已知，.（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？