第八章 玻色统计和费米统计

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第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即解:对于理想费米系统，与分布相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））（2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））（4）由费米分布易得（5）和（6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为（7） 将式（6）和式（7）代入式（3），有（8）比较式（8）和式（2），知（9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为其中为量子态上的平均粒子数.表示对粒子的所有量子态求和.同时证明，当时，有解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为（1）式中表示对粒子各能级求和.以表示在能量为的量子态上的平均粒子数，并将对能级求和改为对量子态求和，注意到上式可改写为 （2）由于，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明（3）对于玻色系统，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在的情形下，式（2）和式（3）中的所以，在的情形下，有（4）注意到，上式也可表示为（5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为（1）（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）（2）可直接求得弱简并气体的压强为（3） 式中是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为（6）式中的函数可通过下述条件确定：在的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为（7）弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚. 解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度，气体的化学势将趋于-0.在时将有宏观量级的粒子凝聚在的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度由条件（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））代入式（1），得（2）二维理想玻色气体的凝聚温度由式（2）确定.令，上式可改写为（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有则（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场 中运动.如果原子是玻色子，试证明：在时将有宏观量级的原子凝聚在能量为的基态，在保持有限的热力学极限下，临界温度由下式确定：其中温度为T时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比为解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为（1）这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为（2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T时处在量子态上的粒子数为（3）处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即（4） 化学势由（5）确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值时，将趋于临界温度由下式确定：（6）或（7）其中在的情形下，可以将看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注意到在范围内，粒子可能的量子态数为即有（8）式中为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为积分等于 所以式（8）给出（9）式（9）意味着，在而保持有限的极限情形下，取有限值.上述极限称为该系统的热力学极限.在时，凝聚在基态的粒子数由下式确定：上式可改写为（10）式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovoetal.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.8.6承前8.5题，如果，则在的情形下，原子在方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为的基态，在保持有限的热力学极限下，临界温度由下式确定： 其中温度为T时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比为解:在的情形下，原子方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在时将有宏观量级的原子凝聚在能量为的基态.临界温度由下式确定：（1）其中（2）在而保持有限的热力学极限下为有限值，有（3）时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比由下式确定：或（4）低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovoetal及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见etal.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）. 8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在到的圆频率范围内光子的量子态数为（1）温度为T时平均光子数为（2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为（3）引入变量，上式可表示为或（3）在1000K下，有在3K下，有8.8试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为 并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长满足方程这个方程的数值解为因此随温度增加向短波方向移动.解:式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为（1）根据圆频率与波长熟知的关系，有（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得（3）令，使取极大的波长由下式确定：（4）由式（4）易得（5）这方程可以用数值方法或图解方法求解.图解方法如下：以为横坐标，为纵坐标，画出两条曲线如图所示.两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96.精确的数 值解给出所以使为极大的满足（6）右方是常量，说明随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使为极大的与式（8.4.11）给出的使为极大的并不相同.原因是是单位波长间隔的内能密度，是单位频率间隔的内能密度.与分别由（4）和（7）确定，其中由这两个方程解得显然不同.8.9按波长分布太阳辐射能的极大值在处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度.解:由上题式（6）知 假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为8.10试根据热力学公式及光子气体的热容量求光子气体的熵.解:式（8.4.10）给出光子气体的内能为（1）由此易得其定容热容量为（2）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有（3）积分沿任意一条积分路线进行.如果取积分路线为由（0，V）到（T，V）的直线，即有（4）其中已取积分常量为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T，V）的直线，结果如何？8.11试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度计算6000K和1000K时的值.解:根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在到，动量方向在到到范围内，平衡辐射的光子数为 （1）其中已利用式（8.4.2）将动量为的光子能量表示为cp，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以dA表示法线方向沿z轴的器壁的面积元.以表示在dt时间内碰到dA面积上，动量大小在到，方向在到到范围的光子数.它等于以dA为底，以为高，动量在范围内的光子数.因此单位时间（）内，碰到单位面积的器壁上（或穿过单位面积），动量在范围内的光子所携带的能量为（2）对式（2）积分，从0到从0到从0到，即得到辐射动量密度为令，上式可表示为或（3）在6000K，有在1000K，有 8.12室温下某金属中自由电子气体的数密度某半导体中导电电子的数密度为，试验证这两种电子气体是否为简并气体.解:根据§8.5，在，即的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在，即的情形下，气体形成强简并的费米气体.（1）将代入，得（2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体.将代入，得所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13银的导电电子数密度为试求0K时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.解:根据式（8.5.6）和（8.5.8），0K下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度.式（8.5.6）给出（1）将代入，即得（2） 费米速率等于（3）式（8.5.8）给出0K下电子气体的压强为（4）8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为（1）其中是费米动量，即0K时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为（2）因此电子的平均速率为（3）8.15试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为其中是电子的数密度，是平均速率.解:绝对零度下电子速率分布为（1）式中是0K时电子的最大速率，即费米速率.单位体积中速率在间隔的电子数为 （2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z轴的单位面积器壁上的碰撞数为（3）将上式积分，从0到从0到从0到，得0K时电子气体的碰壁数为（4）但由式（2）知单位体积内的电子数为（5）所以最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速（式（1.8.8）），试证明在0K理想费米气体中 解:式（1.8.8）已给出声速为，（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数.根据能氏定理，0K下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0K下理想费米气体的压强为（2）故即（3）8.17等温压缩系数和绝热压缩系数的定义分别为和试证明，对于0K的理想费米气体，有解:根据式（8.5.6）和（8.5.4），0K下理想费米气体的压强为 （1）在温度保持为0K的条件下，对V的偏导数等于由式（A.5）知（2）所以0K下（3）根据能氏定理，T=0的等温线与S=0的等熵线是重合的，因此0K下由此可知（4）式（4）也可以从另一角度理解.式（2.2.14）和（2.2.12）给出（5）和（6）由式（6）知，0K下所以式（5）给出0K下 8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为根据习题6.4式（2），在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0K下自由电子气体的分布为（2）费米能量由下式确定：故（3）0K下电子气体的内能为（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为（5） 8.19假设自由电子在二维平面上运动，面密度为试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解:根据6.3题式（4），在面积A内，在到的能量范围内，二维自由电子的量子态数为（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0K下自由电子的分布为（2）费米能量由下式确定：即（3）0K下二维自由电子气体的内能为（4）仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为（5）因此0K下二维自由电子气体的压强为（6）8.20已知0K时铜中自由电子气体的化学势试求300K时的一级修正值.解:根据式（8.5.17），温度为T 时金属中自由电子气体的化学势为300K下化学势对的一级修正为这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小.这一点可以从下图直接看出.图中画出了在不同温度下电子分布函数随的变化.0K时电子占据了能量从零到的每一个量子态，而的状态则全部未被占据，如图中的线所示.温度升高时热激发使一些电子从能量低于的状态跃迁到能量高于的状态.温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的线和线所示费米分布要求在任何温度下的状态，即占据概率为从图8-2可以看出，化学势必然随温度升高而减少，即8.21试根据热力学公式，求低温下金属中自由电子气体的熵.解:式（8.5.19 ）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为（1）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有（2）取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有（3）其中已取积分常量为零.8.22由N个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为，轴向频率为的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为试求0K时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量.假设，求出数值结果.解:由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为（1）式中已将能量零点取为理想费米气体的化学势由下式确定：（2）如果N足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于，或者温度足够高使，式（2）的求和可以改写为对能量的积分.令 式（2）可表达为（3）引入新的积分变量，可进一步将式（2）改写为（4）式中被积函数只是变量的函数，与和无关.对一定的，和的积分等于以轴、轴和三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于所以式（4）可表达为（5）其中（6）它是能量在到范围内粒子的状态数.0K时系统尽可能处在能量最低的状态.由于泡利原理的限制，粒子将从能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为的状态止.由下式确定：由此可得 （7）0K时费米气体的能量为（8）粒子的平均能量为（9）对于题给的数据，可得8.23承上题，试求低温极限和高温极限下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解:首先讨论低温极限的情形.根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分（1）在低温极限下可展开为（2）对于磁光陷阱中的理想费米气体，有（3） 其中上式确定费米气体的化学势.利用式（1），（2）可得因此（4）气体的内能为利用式（1），（2）可得（5）热容量为（6）在高温极限的情形下，有（7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布.按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数 （8）内能为（9）上式与能量均分定理的结果相符.根据式（7.6.7），气体的化学势为（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强.见B.DeMarco,D.S.Jin.Science.1999,285(1703).A.G.Truscottetal.Science.2001,191(2570).8.24关于原子核半径R的经验公式给出式中A是原子核所含核子数.假设质子数和中子数相等，均为A/2，试计算二者在核内的密度如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的以及核子在核内的平均能量.核子质量解:根据核半径的经验公式假设核内质子数和中子数相等，均为，则二者的密度均为 如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量为由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型.它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功.核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子.从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心.将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为，核内核子之间的平均距离约为，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分.其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态.作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.25是费米子，其自旋为1/2在液中原子有很强的相互作用.根据朗道的正常费米液体理论，可以将液看作是由与原子数目相同的准粒子构成的费米液体.已知液的密度为，在0.1K以下的定容热容量为试估算准粒子的有效质量 解:我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0K理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量的费米球：（1）的状态则完全未被占据.气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到的状态，而在费米球中留下空穴.的大小取决于气体的数密度朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子.液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同.对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量和自旋S描述.在0K费米液体处在基态时，准粒子占满了动量空间中半径为的费米球，仍由式（1）确定，但是液体的粒子数密度.费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到的状态，而在费米球中留下空穴.以表示单位体积中动量在到的准粒子数.在自旋量子数为1/2的情形下，有满足归一化条件（2）由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量与其他准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关.因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即（3）而是分布函数的泛函.准粒子能量由下式定义：（4）或（5） 上式的意义是，准粒子能量等于增加一个动量为的粒子所引起的系统能量的增加.既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数的泛函.习题8.2曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式（6）式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布和空穴具有分布所导致的熵.式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态.如果是某非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达.在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值.根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系.将式（6）中的理解为费米液体中准粒子的分布，费米液体的熵亦可由式（6）表达.在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值.可以证明，平衡态的分布具有下述形式：（7）这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，和是拉氏乘子.显然，T和分别是费米液体的温度和化学势.需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于是分布函数的泛函，式（7）实际上是分布函数的一个复杂的隐函数表达式.以和分别表示0K时的分布函数、准粒子能量和化学势.由式（7）可知，是一个阶跃函数：（8）上式给出0K时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致.在接近0K的低温下，分布函数应与阶跃分布接近.作为一级近似，可以用近似地确定准粒子的能量这意味着简单地成为的确定的函数对于的动量值，可以将 函数按作泰勒展开，即（9）其中（10）是准粒子在费米面的速度.对于理想费米气体，有可以类似地引入准粒子有效质量的概念，定义（11）并将和处的简单地记为（12）（13）如§8.5所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8.5.19）和（8.5.6））（14）根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为（15）其中是费米液体准粒子的有效质量.将题中所给液的实测数据代入，注意的质量密度（是原子的质量），可得准粒子的有效质量约为（16）关于朗道费米液体理论，可参看《量子统计物理学》（北京大学编组）