玻色统计和费米统计

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1、第八章玻色统计和费米统计§8.1热力学量的统计表达式一、玻色系统1、巨配分函数取对数得：（8.1.1）（8.1.2）2、系统的平均总粒子数为：3、内能和熵内能是系统总能量的统计平均值：与广义坐标y对应的广义外力Y是：（8.1.3）（8.1.4）（8.1.5）上式的一个重要特例是：由上面式子得：因为：（8.1.6）故有：上式指出是的积分因子。热力学中讲过有积分因子，使：比较得：（8.1.7）（8.1.8）所以：积分得熵：将(8.1.2)代入(8.1.9)得熟知的玻耳兹曼关系：（8.1.9）（8.1.10）综上所述，只要计算出巨配分函数的对数

2、，就可以求出系统的基本热力学函数，是以（对简单系统即）为变量的特性函数，以为自然变量的特性函数是巨热力学势，将上式代入得巨热力学势：（8.1.11）二、费米系统对于费密系统，只要将巨配分函数改为：其对数为:其它的公式推导完全一样。（8.1.13）（8.1.12）§8.2弱简并玻色气体和费米气体满足经典极限条件的气体称为非简并性气体，需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体。不考虑分子内部结构，因此只有平动自由度，分子的能量为:在体积V内，在到的能量范围内，分子可能的微观状态数为:（8.2.1）（8.2.2）系统的总分子数满足:系统

3、内能为:引入变量，将上述两式改写为:（8.2.3）(8.2.3`)（8.2.4）(8.2.4`)两式被积函数的分母可表为：在的情形下，是个小量，可将展开，只取头两项得：保留展开的第一项相当于将费米（玻色）分布近似为玻耳兹曼分布，现在保留两项，相当于弱简并的情形。（8.2.5）将式(8.2.5)代入式(8.2.3`)和(8.2.4`)，将积分求出得：两式相除得：由于，可将上式第二项中的用0级近似，结果：（8.2.7）（8.2.6）代入得：上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性引起的粒子统计关联所导致的附加内能。弱简

4、并情形下附加内能的数值是小的。费米附加内能为正玻色附加内能为负。（8.2.8）§8.3光子气体可将空窖内的辐射场看作光子气体，具有一定的波矢和圆频率的单色平面波与具有一定的动量p和能量的光子相应。大量p与波矢，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系：因为，所以：（8.3.1）（8.3.2）光子是玻色子，遵从玻色分布，光子数不守恒，所以不存在N是常数的条件，只引进拉氏乘子，所以光子气体的统计分布为：因为，意味着，平衡状态下光子气体的化学势为零。光子的自旋是1，它的自旋在动量方向的投影可取两个可能值，所以，光子的量子态数为：（8.3.3）范围内光子

5、的量子态数：平均光子数：（8.3.4）（8.3.5）（8.3.6）相应频率范围内辐射场能量的普朗克公式：普朗克公式的建立是量子物理学的起点。一、在的低频范围，，上式近似为：此式就是瑞利—金斯公式。（8.3.7）（8.3.8）二、在的低频范围，，上式近似为：此式就是维恩公式。可以看出，高频时能量随频率的增加迅速趋于零。从量子观点来看：高频光子的能量远远大于热激发的能量，因此产生高频光子的几率非常小。所以这类高能光子对于辐射场的能量是没有贡献的，正象气体分子的高振动能级被冻结，对热容量没有贡献。（8.3.9）§8.4玻色—爱因斯坦凝聚极端强简

6、并情况，理想玻色气体在动量空间中的凝聚问题。设粒子的自旋为零，根据玻色分布，处在能级的粒子数为：上式要求粒子数不能为负值，所以要求最低能级也就是要求理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。（8.4.1）（8.4.2）如，则：由公式：与都与温度无关，在粒子数密度n给定的情形下，温度越低值必然越高，将上式的求和用积分代替，并应用式(6.2.13)，可将之表达为：（8.4.3）（8.4.4）（8.4.5）化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度时，将趋于零。这时趋于1。临界温度由下式定出：令，上式可表达为：（8.4.6）（8.

7、4.7）积分后可得临界温度为：温度低于时，由式(8.4.5)不可能得到负的化学势。前面的讲过，理想玻色气体的化学势在任何温度下必是负的。产生这个矛盾的原因：由于状态密度中含有因子，我们用积分代替求和时，的项就被弃了，在温度足够高时误差是可以忽略的；但在低温情形下，粒子将尽可能占据最低能态，处在的粒子数不能忽略。（8.4.8）因此在时，应将式(8.4.5)改写为：第一项是温度为T时处在能级的粒子数密度，第二项是处在激发能级的粒子数密度。在第二项中已取极限。令,将(8.4.7)式代入第二项得：（8.4.9）（8.4.10）将上式代入(8.4.

8、9)可得温度为T时处在最低能级的粒子数密度：上式表明，在时玻色粒子将在能级凝聚，其粒子数密度与总粒子数n具有相同的量级，这一现象称为玻色—爱因斯坦凝聚。称为凝聚温度。凝聚在能级的粒子动量、能量