复习资料(定积分)

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1、第五章定积分1.定积分的概念设函数在区间上有定义，任取分点，把区间分成个小区间，记为，再在每个小区间上，任取一点，取乘积的和式，即．如果时上述极限存在（即这个极限值与的分割及点的取法均无关），则称函数在闭区间上可积，并且称此极限值为函数在上的定积分，记做，即，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，与分别称为积分下限与积分上限，符号读做函数从到的定积分．2.定积分的几何意义设在上的定积分为，其积分值等于曲线、直线和所围成的在轴上方部分与下方部分面积的代数和．3.定积分的性质（1）积分对函数的可加性

2、，即,可推广到有限项的情况，即．（2）积分对函数的齐次性，即．（3）如果在区间上，则．（4）（积分对区间的可加性）如果，则．注意：对于三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有．4．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数在闭区间上连续，如果是的任意一个原函数，则，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．5．定积分的计算（1）定积分的换元法设函数在上连续，令，则有，其中函数应满足以下三个条件：①；②在上单值且有连续导数；③当在上变化时，对应值在上变化．上述公式称为定积分换元公式．在应用换元公式时要特别注

3、意：用变换把原来的积分变量换为新变量时，原积分限也要相应换成新变量的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．（1）设，则()。A.B.C.D.（2）定积分的分部积分公式设函数在区间上均有连续导数，则．以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．例：===．习题（1）设在上连续，且，则（）。A.一定成立；B.一定不成立；C.仅当单调时成立；D.仅当时成立。（2）。（3）。（4）求。（5）求。（6）求。（7）求。（8）设是连续

4、函数，且，则=。（9）求。（10）求。