函数的概念复习课

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1、函数的概念知识梳理:1、函数的概念:⑴、函数的传统定义:设在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x的值,相应地就确定唯一的一个y值,那么我们就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。他们描述的是变量之间的依赖关系。⑵、函数的近代定义:一般地,设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A。其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;

2、与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)︱x∈A}叫做函数的值域。注:①、A,B都是非空数集,因此定义域或值域为空集的函数不存在。②、集合A是函数的定义域,而集合B不一定是函数的值域。③、符号y=f(x)表示“x对应的函数值”,f表示对应关系。f(x)是一个整体,不可分开,不能理解为f*x。④、f(a),a∈A与f(x)的区别和联系。练习:判断下列对应是否为集合A到集合B的函数。⑴、A=R,B={x︱x>0},f:x→y=

3、x

4、;⑵、A=Z,B=Z,f:x→y=x;⑶、A=Z,B=Z,f:x

5、→y=;⑷、A={x︱-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.2、函数的构成要素:有函数的定义可知:一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。注:⑴、检验给定的两个变量之间是否具有函数关系的方法:①定义域和对应关系是否给出;②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一的函数值y和它对应。⑵判断两个函数是否是同一函数的方法:定义域和对应关系都分别相同。练习:判断下列各组函数是否表示同一函数:⑴、f(x)=2x+1与g(x)=;⑵、f(x)=与g(x)=x-1;⑶、f(x)=

6、

7、x-1

8、与g(x)=⑷、f(x)=x与f(t)=()。3、函数的定义域:函数的定义域是自变量x的取值范围,有时候函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数的定义域就是指能使函数有意义的所有实数x构成的集合。求函数定义域的一般方法:⑴、如果f(x)是整式,其定义域是实数集R;⑵、如果f(x)是分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;⑶、如果f(x)是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;⑷、如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合

9、;⑸、f(x)=x的定义域是{x∈R︱x≠0}。注:实际问题,除考虑解析式本身的意义外,还应使实际问题有意义。练习:求下列函数的定义域:⑴、f(x)=+;⑵、f(x)=;⑴、f(x)=。1、函数的值域:求函数值域的方法:⑴、观察法:通过简单变形和观察。如:y=;⑵、配方法:二次函数类型;⑶、判别法:化为自变量的二次方程形式,利用判别式求函数的值域,常见“分式”函数、“无理”函数等。注意自变量的取值范围。⑷、换元法:将复杂的函数化为几个简单的函数。如:函数y=ax±b±(a,b,c,d均为常数,ac≠0)

10、的值域。⑸、分离常数法:如:函数y=(a≠0)。练习:⑴、已知函数f(x)=x-2x,其定义域为A={0,1,2,3},求这个函数的值域;⑵、求函数f(x)=,x∈R,在x=0,1,2处的函数值及函数的值域。2、区间:注:①、区间的左端点必小于右端点;②、区间两端的取值表示形式;③、无穷大不是一个数,在区间的一端时,这一端必须是小括号。练习:函数y=的定义域可用区间表示为:。经典例题解析:1、判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数:⑴、f(x)=6x与g(x)=6();⑵、f(x)=6x与g(x)=6

11、();⑶、f(x)=6x与g(x)=6;⑵、f(x)=与g(x)=x+3;⑶、f(x)=与g(x)=

12、x+3

13、。2、已知函数f(x)=3x+2x,求f(f(1))的值。3、求下列函数的定义域:⑴、y=;⑵、y=;⑶、y=;⑷、y=。4、已知函数f(x+3)的定义域为【-5,-2】,求函数f(x+1)+f(x-1)的定义域。5、已知函数y=x+2x-3,分别求它在下列区间上的值域:⑴x∈R;⑵x∈【0,+∞);⑶x∈【-2,2】;⑷x∈【1,2】。1、求函数y=的值域。2、求函数y=6x+1+2的值域。8

14、、已知函数y=的定义域为(-∞,+∞),值域为【1,9】,求m,n的值。作业:1、判断下列各组函数是否表示同一函数:⑴f(x)=x+2,g(x)=;⑵f(x)=(x-1),g(x)=x-1;⑶f(x)=

15、x

16、,g(t)=。2、已知函数f(x)=3x+2x,g(x)=x+1,求f(g(1))的值。3、若函数y=f(x)的定义域是【0,2】,则函数g(x)=的定义域是:。4、已知函数y=f(-1)的定义域为(-2,3),则函数y=f(3x-1)

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