快乐课堂学数学-多余老师趣讲“平面向量”-高中数学必修4

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1、85eace60c6412b42934cc86405c0f266.docPage5of5快乐课堂学数学-多余老师趣讲“平面向量”-高中数学必修4一、本单元概述向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及将要学习到的电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空

2、间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。但复数的利用是受限制的，

3、因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。向量的方法经过逐步完善，成为了一套优良的数学工具。向量，是一个非常好的数学工具，使用向量解决问题的方法称为“向量法”。向量法的数学思想，仍然是“数形结合思想”。要使用好这个工具，就要：1、知道工具的构造原理。2、工具的操作规则。3、工具的使用范围。二、向量的有关概念在数学与物理中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。向量

4、有方向与大小，分为自由向量（可平移）与固定向量（不可平移）。数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中常称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。向量的表示：1．代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c…等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。2．几何表示：向量可以用有向线段来表示。具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。有向线段AB的长度叫做向量的模，

5、记作

6、AB

7、。向量的大小也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作0。长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。3．坐标表示（数形结合）：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。85eace60c6412b42934cc8640

8、5c0f266.doc第5页共5页85eace60c6412b42934cc86405c0f266.docPage5of5其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。模和数量向量的大小，也就是

9、向量的长度(或称模)。向量a的模记作

10、a

11、。注意：1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)，

12、a

13、=根号下（x^2+y^2）。2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。各种向量零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直。单位向量：长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。某方

14、向上的单位向量：与向量a同向或反向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/

15、a

16、。负向量：如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。特别规定：所有的零向量都相等。当用有向线段表示向量时