快乐课堂学数学-多余老师趣讲“三角函数”-高中数学必修.doc

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1、快乐课堂学数学-多余老师趣讲“三角函数”-高中数学必修4一、本单元概述数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科，简单说就是研究“数”与“形”。数形结合是数学研究的非常重要的思想和方法。必修1中，在初中已学的“一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数”的基础是，进一步了解了函数的概念和作用，并研究了“指数函数、对数函数”。可以看到，这几种函数，都是从“代数角度”进行命名的，并将这些“代数表达”，通过平面直角坐标系，得到了“函数图像”。必修2中，用“数形结合”的“解析方法”，在平面直角坐标系中，研究

2、“直线、圆”，并得到“几何图形”的“代数表达”。通过已经进行过的“函数、解析几何”的学习，我们应该深深体会到以下两点：1、“数”与“形”的对应。2、要紧抓住代数表达式中的“参数”，和图形的“要素”。灵活运用这两点，就能把“代数问题”和“几何问题”融会贯通，这才是“真正的数学”。看到“三角函数”这个名称，可以想到，这是函数是从“几何角度”进行命名的。这与已经学过的用“代数角度”命名的函数是不同的。所以，研究三角函数，重在“图形”。看图形的“要素”是什么？　对于三角函数，我们并不陌生，在初中时我们就已经

3、接触并学习过了。不过，那时的学习，并没有体现三角函数的“函数性质”，基实质只是“用符号表达”直角三角形的“三边比”。“三边比”正是“直角三角形”这一图形的“几何要素”。二、取消“角”的限制由于初中时，只是研究直角三角形，所以对于三角函数的“角”，给予了限制，只限于“锐角”。现在，我们再深入研究三角函数，就要将“角”进行扩展，“取消限制”；但“三边比”将会继续贯穿整个研究过程，这就是“要素”的作用。“角”，我们从小学就已经开始使用，小学时“角”的定义是：由两条有公共端点的射线组成的图形。学过旋转后，到

4、初中又给“角”下过一个定义：平面内一条射线绕端点旋转所成的图形。但当时，只是对这个定义提到了一下，并没有具体使用，因为初中和小学一样，也只是使用小于或等于180度的角，对于周角也只是有一个概念而已。现在，我们就使用“角”的旋转定义，将角进行扩展，把初中、小学对角的限制，全部取消。1、先规定旋转的方向：以逆时针旋转为正方向，则顺时针旋转为负方向。这样，就把角按旋转方向分为了“正角、零角、负角”三类。2、旋转角度完全取消限制。可以任意旋转N圈。但要注意，由于取消限制，对于“角”，就不能根据图形，直接说出

5、角的具体度数了。因为，高中的“角”要说具体度数，一要知道旋转方向，二要知道旋转圈数。那么，怎么直接描述“角”的图形呢？高中的“角”，根据图形，只能确定“终边的位置”，而不能确定角度。因此，使用描述位置的最佳工具“平面直角坐标系”，将“始边”统一为“x轴的非负半轴（含原点）”，“顶点”为“原点”，按“终边”位置，将角分为：1、象限角。有第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。2、轴线角。有x轴线角、y轴线角。再进一步分为x轴非负轴线角、x轴非正轴线角、y轴非负轴线角、y轴非正轴线角。高中的“角

6、”，书写表达，使用集合方式：{x

7、x=0到正负360度范围内的确定度数+k•360度，k为整数}即角的研究，先考虑“一圈”范围内的情况，其结果为“所在集合”的“统一结果”。根据“数形结合”，同学们可以把“坐标系“中“不同位置的角”分别用“集合形式”给予“代数表达”；同样，看到“代数表达”，能快速、准确地确定其在“坐标系”中的“位置”。三、引入“弧度制”此前，我们所使用的“角”的度量制，称为“角度制”。但是，“角度制”有两个情况，使其使用受到了限制：1、角度制，来源于时钟，因此与时、分、秒一样，采取6

8、0进率，而我们计算中使用的是10进制。2、角度制的结果是“数量”，而不是“数值”。为了解决这两个限制因素，因此引入了“弧度制”。1弧度（1rad）=长度等于半径长的弧所对的圆心角≈57.3度。由此可知：1、弧度制，其实是用“长度的比值”（弧长l/半径r），来表示角的大小，即一个角的弧度数的绝对值

9、α

10、=l/r（弧度数的正负由旋转方向或角度给定），其进率自然就是10了。2、弧度制的结果，是“数值”，在明确表示角的情境下，弧度的单位（rad），自然省略。3、弧度制，是建立在旋转的基础上的，所以弧度制与扇

11、形（圆当作特殊扇形）的关系，非常密切。利用圆来研究角度时，使用弧度制将比角度制，方便得多。（后面任意角的三角函数就要使用，在物理中研究圆周运动也要使用）弧度的定义，实质是利用“圆周长与半径的比值”是一个“定值”（2п），这样建立弧度数2п=360度，使角度制与弧度制得以互换。这样我们就得到一些常用角的弧度数：180度=360度/2=2п/2=п，90度=360度/4=2п/4=п/2，60度=360度/6=2п/6=п/3，30度=360度/6=2п/12=п/6，1