压杆的平衡稳定性与压杆设计

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1、第10章压杆的平衡稳定性与压杆设计刚体的平衡位形和弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定问题。本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形的分叉、分叉点、屈曲以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法—安全因数法。§10－1弹性体平衡构形稳定性的基本概念结构构件、机器的零件或部件在压缩载荷或其他特定载荷作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为平

2、衡构形（equilibriumconfiguration）。当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动（disturbance）使其偏离初始平衡构形；外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是稳定的（stable）；当载荷大于一定的数值时，外界扰动使其偏离初始平衡构形，扰动除去后，构件不能回复到初始平衡构形，则称初始平衡构形是不稳定的(unstable)。此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）。不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，都

3、要转变为其他形式的平衡构形，这种过程称为屈曲(buckling)或失稳(loststability)。很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失效称为屈曲失效(failurebybuckling)。由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此工程设计中需要认真加以考虑。轴向受压的理想细长直杆（图10－1a），当轴向压力FP小于某一数值时，在任意小的扰动下使压杆偏离直线的平衡构形（例如发生微弯），扰动除去后，压杆又回到原来直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。这表明，当压力小于一定数值时，压杆只有直线一种平衡

4、构形。若以w0表示压杆在屈曲时中间截面的侧向位移则在FP－w0坐标中，当压力FP小于某一图10－1压杆的平衡路径数值时FP－w0关系由竖直线AB所描述，如图10－1b所示。当压力超过一定数值时，压杆仍可能具有直线的平衡构形，但在外界扰动下，使其偏离直线构形，扰动除去后，不能再回到原来的直线平衡构形，而在某一屈曲构形下达到新的平衡，则称原来的直线平衡构形是“不稳定的”。这表明，当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡构形—直线的和屈曲的。前者侧向位移w0＝0，后者w0≠0。精确的非线性理论分析结果表明，在FP－w0坐标

5、中，上述两种平衡构形分别由竖直线BD（图10－1b中的虚线）和曲线BC（图10－1b中实曲线）所表示。不同压缩载荷下的FP－w0曲线称为压杆的平衡路径（equilibriumpath）。可以看出，当压力小于某一数值时平衡路径AB是唯一的，它对应着直线的平衡构形。当压力大于某一数值时，其平衡路径出现两个分支BD和BC。其中一个分支BD对应着直线的平衡构形；另一个分支BC对应着屈曲的平衡构形。前者是不稳定的；后者是稳定的。这种出现分支平衡路径的现象称为平衡构形分叉（bifurcationofequilibriumconfig

6、uration）或平衡路径分叉（bifurcationofequilibriumpath）。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（criticalpoint）。在现在所讨论的问题中，因为从这一点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷(criticalload)或分叉载荷(bifurcationload),用FP表示。细长压杆，在大于临界载荷的轴向压力作用下，由直线平衡构形转变为屈曲构形的过程，称为分叉屈曲(bifurcationbuckling)。§10－2确定临界载荷的

7、平衡方法为简化分析，并且为了得到可应用于工程的、简明的表达式。在确定压杆的临界载荷时作如下简化：n剪切变形的影响可以忽略不计。n不考虑杆的轴向变形。从图10－1b所示的平衡路径可以看出，当w00时FPFPcr。这表明，当FP无限接近分叉载荷FPcr时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内，存在微弯的屈曲平衡构形。根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界载荷。图10－2两端铰支的压杆10－2－1两端铰支的压杆考察图10－2a所示两端铰支、承受轴向压缩载荷的理想直杆，由图10－2b所示与直线平

8、衡构形无限接近的微弯屈曲构形的局部（图10－2c）的平衡条件，得到任意截面(位置坐标为x)上的弯矩为(a)由小挠度微分方程(b)得到(10－1)这是压杆在微弯曲状态下，也是微弯屈曲构形时的平衡微分方程。这一微分方程是确定临界载荷的主要依据，其中(10－2)方程(10－1)的通解是(10－3)利用两端的边界条件：得到(