直线与平面垂直的判定和性质(一)

直线与平面垂直的判定和性质(一)

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1、直线与平面垂直的判定和性质(一)  1.下列命题中正确的是( ).  A.若一条直线与平面内的一条直线垂直,则这直线与这个平面垂直  B.若一条直线与平面内的两条直线垂直,则这直线与这个平面垂直  C.若一直线与平面内的无数条直线垂直,则这直线与这个平面垂直  D.若一直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这直线与这个平面垂直  2.已知直线a、b和平面a,下列推理中错误的是( ).  A.B.  C.D.  3.直线a在平面a内的射影是一个点,那么一定有( ).  A.a∥a   B.a⊥a    C.aa   D.a是a的斜线  4.给出四个命题:  ①

2、过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;  ②若一条直线与平面a平行,那么直线上的所有的点到平面的距离相等;  ③共点O的直线a、b、c两两垂直,那么其中任何一条直线垂直于另两条直线所确定的平面;  ④如果一条直线垂直于平行四边形的两条边,那么这条直线垂直于这个平行四边形所在的平面.  其中正确的命题的个数是( ).  A.3B.2 C.1D.0  5.判断下列命题是否正确,并说明理由:  (1)a⊥a,baa⊥b;  (2)AB∥a,AC⊥a,BD⊥aAC=BD;  (3)a∥b,b⊥a,ca=a⊥c;  (4)线段AB⊥a于B,线段CD与a相交于D,则A

3、B≤CD;  (5)线段AB、CD在平面a内的射影为、,若AB=CD,则.  6.平面a的斜线段AB长为6cm,AB在平面a内的射影长为3cm,则AB所在直线与平面a所成的角等于________.  7.在正方体中,  (1)与垂直的棱有________条;  (2)与垂直的面对角线有________条;  (3)与垂直的棱有________条;  (4)与垂直的面对角线有________条.  8.直线a、b与平面a所成的角都等于60°,a、b的位置关系如何?画图说明.  9.已知等边三角形ABC的边长为a,D是BC边中点,PA⊥AB,PA⊥AC,且PA

4、=a(如图9-27).问PD是否与BC垂直?说明理由,并求点P到BC的距离.图9-27  10.O是平行四边形ABCD两对角线的交点,P平面ABCD,且PA=PC,PB=PD.  求证:PO⊥平面ABCD.参考答案  1.D.  2.C.  3.B.  4.A.其中①、②、③正确.在③中,由于b∩c=P,∴过b、c确定一个平面a,∵a⊥b,a⊥c,ba,ca,b∩c=P,∴a⊥a.④不正确是因为平行四边形的两组对边平行,若直线垂直于平行四边形的两条对边,不能确定直线与平行四边形所在平面垂直.若直线垂直平行四边形的两条邻边,则直线垂直于平行四边形所在的平面.

5、  5.(1)正确.  (2)正确.  (3)正确.  (4)不正确.AB、CD可能不是从一个点出发的垂线段与斜线段,长度间无确定关系.  (5)不正确.理由同上.  6.60°.  7.(1)8条,其中相交垂直的有AB、AD、、四条,异面垂直的有BC、CD、、四条;  (2)4条,与垂直的平面有两个平面ABCD和平面,每个面上有两条对角线,即AC、BD、、;  (3)4条.∵BC⊥平面,∴,同理、、AD均与垂直;  (4)6条.是平面ABCD的一条斜线,∵⊥平面ABCD,∴BD为在平面ABCD内的射影.∵BD⊥AC,∴由三垂线定理,,即AC为平面ABCD

6、内与垂直的唯一面对角线,正方体共有六个面,每个面有一条面对角线与异面垂直,所以一共有6条.  8.a、b可能平行、相交、异面(图略).  9.如图9-27,∵△ABC是正三角形,D是BC中点,∴AD⊥BC,∵PA⊥AB,PA⊥AC,∴PA⊥平面ABC.∴AD是PD在平面ABC内的射影,∵AD⊥BC,根据三垂线定理,PD⊥BC,∴PD为P点到BC的距离.∵PA⊥平面ABC,AD平面ABC,∴PA⊥AD.在Rt△PAD中,AD是正三角形的高,∴,又∵PA=a,∴.  10.由PA=PC,故△PAC是等腰三角形,又O是AC中点,故PO⊥AC.因此可证PO⊥BD,

7、又AC∩BD=O,因此PO⊥平面ABCD.

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