直线与平面垂直的判定和性质（三）

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1、直线与平面垂直的判定和性质（三）　　1．已知P为△ABC所在平面外一点，点P在平面ABC上的射影为O．　　（1）若PA=PB=PC，则O是△ABC的________心；　　（2）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心；　　（3）若O在△ABC内，且P到△ABC三边的距离相等，则O为△ABC的________心；　　（4）若PA⊥BC，PB⊥CA，则O为△ABC的________心．　　2．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．　　3．已知D为平面ABC

2、外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即．　　4．已知斜线AB和平面a所成的角为，BCa，BC与AB所成的角为q，BC与AB在平面a内的射影所成的角为，求证：．　　5．如图9-33，在△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB、SC上的射影分别为P、Q．求证：PQ⊥SC．图9-33　　6．如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB平面a，点，C在a内的射影为O，AC和BC与平面a所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求C

3、D与平面a所成角的大小．图9-34参考答案　　1．（1）外心．∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．　　（2）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心．　　（3）内心．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，

4、由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．（如图答9-23）　　（4）垂心．图答9-23　　2．如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵△ACD是Rt△，∴．∵△ABC是Rt△，∴．∵△BCD是Rt△，∴．而在△ABD中，，又∵∠BAD是三角形内角，∴0°＜∠BAD＜180°，∴∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴△ABD是锐角三角形．图答9-24　　3．如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则，，．在△ABD中，作DM⊥

5、AB于M，则．∵CD⊥AD，CD⊥DB，∴CD⊥平面ADB，∴CD⊥DM．在Rt△CDM中，，∴图答9-25　　4．如图答9-26，过A作AD⊥a，垂足为D，连结BD，则，，∠ABC=q．过D作DC⊥BC于C，连结AC，由三垂线定理，AC⊥BC．在Rt△ABC中，；在Rt△ABD中，；在Rt△BCD中，，∴图答9-26　　5．　　6．连结OD，∵CO⊥平面AOB，∴∠CDO为CD与平面a所成的角．∵AB、CB与平面a所成角分别为30°和45°，∴∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，．在Rt△AB

6、C中，，∴．∵CD⊥AB，∵，∴．在Rt△COD中，，∵0°＜∠CDO＜90°，∴∠CDO=60°，即CD与平面a所成的角为60°．