直线、平面垂直的判定与性质

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1、第七章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质.怎么考1.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．2.着重考查垂直关系的转化及应用．题型多以选择题、解答题为主．难度中、低档.一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义．直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意一条2．直线与平面垂直的判定定理及推论.文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直两条相交直线文字语言图形语言符号语言推论如果在两条平

2、行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面垂直a∥ba⊥α3．直线与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理.文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直垂线l⊂βl⊥α2．平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面交线α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a1．(教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面

3、内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：命题①，④为真，命题②，③为假．答案：C解析：可以有无数条．2．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线答案：D4．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平

4、面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．答案：①②解析：③中l∥α也满足，④中α与β可能相交．5．(教材习题改编)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号)①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面

5、ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．答案：③1．在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．[精析考题][例1](2011·浙江高考)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面

6、γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[自主解答]对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．答案：D[巧练模拟

7、]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·潍坊模拟)已知直线m、l和平面α、β，则α⊥β的充分条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α答案：D2．(2012·郑州模拟)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥