直线、平面垂直的判定与性质

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1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第4讲直线、平面垂直的判定与性质概要课堂小结判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()夯基释疑考点突破证明(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.利用判

2、定定理证明考点一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.考点突破(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.利用判定定理证

3、明考点一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.考点突破规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破所以AE∥

4、BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.考点一直线与平面垂直的判定与性质证明(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC．O考点突破(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD．又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC．又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC．考点一直线与平面垂直的判定与性质O考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】

5、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.证明(1)法一取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥CD，且EH＝CD．因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此，CE∥平面PAD．H利用判定定理或面面平行证明考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，A

6、B，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.法二连接CF.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD．又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD．因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD．利用判定定理或面面平行证明考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N

7、分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB．因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.利用