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1、第5节直线、平面垂直关系的判定与性质一、直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直⇒l⊥α3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b练习1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也
2、不必要条件解析:l⊥α⇒l⊥m,l⊥n,反之因为m、n不一定相交,故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.故选A.2.若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是( B )(A)若m⊥α,n⊥α,则m⊥n(B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(C)若m⊥β,α⊥β,则m⊥α(D)若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α解析:由m⊥α,n⊥α可得m∥n,故A错;B.平行线中一条垂直平面,另一条必垂直平面,所以正确;C中,由m⊥β,α⊥β,则有m∥α或m⊂α,故C错.D选项n与α的关系不确定,故选B.3.命题“如果一条直线和一个平面内的无数条
3、直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直”是真命题吗?其逆命题呢?(不是、是)二、直线与平面所成的角1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.2.线面角θ的范围:质疑探究:(1)直线与平面所成的角为α,与该平面内的直线所成的角为β,则α与β的关系如何?(2)直线与平面平行(垂直)时所成角等于多少?提示:(1)α≤β.(2)0.三、二面角、平面与平面垂直1.二面角(1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两
4、个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.(2)二面角的平面角在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理.文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面
5、垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α练习1.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有( B )(A)4对(B)3对(C)2对(D)1对解析:∵PA⊥平面ABC,∴平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,又AB是☉O的直径,∴BC⊥AC,又PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,故平面PBC⊥平面PAC,共3对,故选B.2.如果一条直线和一个平面垂直,那么经过这条直线的所有平面都和这个平面垂直吗?(垂直)3.如果两个平面垂直,那么其中一个
6、平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗?(不一定)4.如果两个平面都和第三个平面垂直,那么这两个平面平行吗?(不一定,可能平行也可能相交)一．与垂直相关命题的判定【例1】m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.下列命题中,①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m⊥α,n⊥α,则m⊥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是( )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:①显然正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β也可能相交,故②错误;对于③,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故③错误
7、;④显然正确.故选C.变式训练11:给出下列命题:(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;(3)已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;(4)a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题的个数是( )(A)0(B)1(C)2(D)3解析:(1)错,垂直于同一平面的两个平面可能平行,也可能相交.(2)正确.(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件,命题错误.(
8、4)当异面直线a,b垂直时可以作出满足要求的平面;当异面直线a、b不垂直时,不能作出满足要求的平面,可用反证法思想说明,即假设存在满足要求的平面,则必有a⊥b,所以这时不存在,命
