双曲线的简单几何性质

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1、学科：数学教学内容：双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线-＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±x，或令双曲线标准方程-＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e＝＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a

2、≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝.(7)共轭双曲线：方程-＝1与-＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线-＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆+＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为-＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝的距离之比等于常数e＝(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦

3、准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径(-＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线-＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0+a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜-(ex1+a),｜PF2｜＝-(ex1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都

4、离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1(1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y＝-x,且经过点Q(8，6)

5、的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为，渐近线方程为y＝±x，求双曲线方程.分析(1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b之间的关系，以Q点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为-＝λ(λ≠0)，将Q点坐标代入求得λ＝4故所求双曲线方程为-＝1.(2)当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为-＝1,依题意有解得故所求双曲线方程为-＝1当双曲线焦点在y轴上时，同理求得其方程为：-＝1综上所述，所求双曲线的方程为-＝1或-＝1.例2过双曲线-

6、＝1的右焦点F2，作斜率为2的弦AB，求｜AB｜的长.分析运用焦半径知识较为简便.依题意有a＝3,c＝5,e＝,F2(5,0)联立方程组消去y得5x2-90x+261＝0.设方程的两根为x1,x2.于是｜AB｜＝e(x1+x2)-2a＝×-6＝24.注：若用弦长｜AB｜＝·解计算量显然大一些，本例中AB为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3已知直线l和双曲线-=1(a＞0,b＞0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点，求证：｜AB｜=｜CD｜.分析若直线l和x轴垂直，结论显然成立；若直线l不与x轴垂直，则可设l的方程为

7、y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0并整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0.设B(x3,y3),C(x4,y4),则x3+x4=∴x1+x2=x3+x4表明线段AD的中点和线段BC的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1求与双曲线-＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系

8、，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线-＝1的渐近线方程为：y＝±x将x＝2代入方程y＝x得y＝·2＝<3∴点(2，3)在直线y＝x的上方，于是设所求的双曲线方程为：-＝1∴由(1)设a＝3k,b＝4k，代入(2)得：-＝1∴k＝±(舍负)∴a＝3b＝2∴