双曲线的简单几何性质

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1、河北饶阳中学高二数学艺术文编制:张丽霞§2.2.1双曲线简单的几何性质导学案(第1课时)[教学目标]:掌握双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。[重点]:双曲线几何性质[难点]:双曲线几何性质的应用,双曲线第二定义。教学过程一、课前准备:复习1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程:①a=3,b=4,焦点在x轴上;②焦点在y轴上,焦距为8,a=2.复习2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?二、新课导学:学习探究(一)试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法,根据双曲线的标准方程,研究它的几何性质。①范围:由双曲线的标准方程

2、可得:从而得x的范围:;即双曲线在不等式和所表示的区域内。=从而得y的范围为。②对称性:以代,方程不变,这说明所以双曲线关于对称。同理,以代,方程不变得双曲线关于对称,以代,且以代,方程也不变,得双曲线关于对称。③顶点:即双曲线与对称轴的交点。在方程里,令y=0,得x=得到双曲线的顶点坐标为()();我们把()()也画在y轴上(如图)。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴,它们的长分别为。④离心率:双曲线的离心率e=,范围为。渐近线:双曲线的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时,与它的渐近线,。思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的

3、什么几何特征?问题1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线的标准方程及简单的几何性质?标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系问题2:实轴与虚轴等长的双曲线叫___________双曲线.等轴双曲线a=b,渐近线方程为________,离心率=_________.第3页共3页河北饶阳中学高二数学艺术文编制:张丽霞 椭圆双曲线方程、、的关系图形范围对称性顶点离心率渐近线[预习自测]1.双曲线-=1的渐近线方程是(  )A.y=±x    B.y=±xC.y=±xD.y=±x2.中心在原

4、点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A、B、或C、D、或3.下列曲线的离心率为的是()A、B、C、D、4.双曲线的实轴长为,虚轴长为,渐近线方程为,离心率为。[合作探究展示点评]探究一:双曲线简单几何性质例1:求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。探究二:由性质求方程例2:求双曲线的标准方程:(1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上;(2)焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上;例3:点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:的距离的比是常数,求点M第3页共3页河北饶阳中学高二数学艺术文编制:张丽

5、霞的轨迹。[当堂检测]1、双曲线-y2=1的离心率是(  )A.B.C.D.2、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为(  )A.2B.2C.D.13、双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(  )A.-B.-4C.4D.4、若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程为y=±x,则b等于________[拓展提升]1.双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为(  )A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36C.3y2-x2=36D.3x2-y2=362.经过点A(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的

6、等轴双曲线的方程是_______3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.求以椭圆+=1的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程,并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程。5.已知双曲线的渐近线方程为。(1)若双曲线过点P(),求双曲线的标准方程;(2)若双曲线的焦距是,求双曲线的标准方程。6.求到定点F(c,0)(c>0)和它到定直线距离之比是(>1)的点M的轨迹方程。第3页共3页

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