广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间角（二）

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1、9.12空间角（二）【知识点精讲】(1)空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。(2)二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0,π)，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法:①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平

2、面角。②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角。③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。直接求二面角的方法有以下二种：①利用斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的

3、射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小.②利用建立空间直角坐标系或基向量，求两平面的法向量，面面角即为两面的法向量的夹角或其补角2重点难点:掌握二面角的概念，作出二面角的平面角再求及不作直接求的方法。3思维方式:把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。4特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。【例题选讲】ABCDA1B1C1D1O例1：（1）（上海高考题）如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，

4、过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的大小是。解：由BC平面CC1DD1，过C作COC1D于O，则O为C1D的中点，连结BO，则BOC1D，所以是二面角B-DC1-CD的平面角。设正方体棱长为1，则，又ΔBCO是直角三角形，所以，即（2）在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（A）A)300B)450C)600D)900思维点拨：1。利用三垂线定理求角，关键在于正确作出二面角的平面角。2．(1)也可利用建立空间直角坐标系求。ABCB1

5、C1A1NQ例2：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。略解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。∵AB1在平面ABC内的射影为AB，

6、CAAB，∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。∵直线B1C与平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。sinAQN==。即二面角B-B1C-A的正弦值为。思维点拨：三垂线定理法求二面角。BACDD1A1B1C1EF例3:如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。分析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面，即

7、正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。略解：由题意可得直线DC平面BEB1，且垂足为C，过C作CFB1E于F（如图，F在B1E的延长线上），连DF，则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。△B1C1E~△CFE，∴CF=；DF=BCC1B1EF∴cosDFC=。即二面角的平面角的余弦值为。思维点拨：求角时经常把某个面从立体图形中拿到平面上，更加直观。例4:如图，在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,

8、PD=3cm,则（1）垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？PEDCl分析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很棘手的问题，就是要证明P、D、E、C四点共面。故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角。略解：∵PC、PD是两条相交直线，∴PC、PD确定一个平面，设交棱l