广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间距离(1)

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1、§9.13空间距离（1）ＰＡＢa一．内容归纳１.知识精讲:(1)点到直线的距离：点P到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A，过A作a的垂线，垂足为B连PB，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离．在直角三角形PAB中求出PB的长即可．(2)异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB为异面直线a,b的公垂线段，然后求出AB的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离．③

2、找或作出分别过a,b且与b,a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离．④(垂面法)a垂直于过b的平面，再过垂足作b的垂线。⑤利用异面直线两点间的距离公式。⑥利用向量中的射影求距离２．重点、难点：求异面直线间的距离．以及巧用转移方法求距离．３．思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理．４．特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计．二．问题讨论：例1：（１）棱长为a的正四面体的对棱间的距离为_____；顶点到对面边的距离为____；高为_____；体积为______；外接球

3、半径为_______;内接球半径为___;（２）把边长为a的正△ABC沿高线AD折成600的二面角，则点A到BC的距离是（　　）Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．解：（１），，，；（２）Ｄ；[思维点拔]在翻折中注意什么变了，而什么没有变．ＯＳＡＢＣＤ例２：在平面β内有△ABC，在平面外有点S，斜线SAAC，SBBC，且斜线SA，SB与平面β所成的角相等，点S到平面β的距离为4cm，ACBC，且AB＝６cm，求点S与直线AB的距离解：如图，过S作SD平面β于Ｄ点，连结DA，DB，则∠SAD，∠SBD分别为SA，SB和平

4、面β所成的角，∵∠SAD=∠SBD，从而，Rt△SAD≌Rt△SBD，∴SA=SB，SAAC，SBBC，∴∠SAC=∠SBC=900．又SC=SC，∴Rt△SAC≌Rt△SBC，∴AC=BC，取AB的中点Ｏ，连结SO，则由于SA=SB，所以SOAB．从而线段SO的长就是S点到直线AB的距离．SD⊥β，∴DA是SA在平面β上的射影．又SA⊥AC，由三垂线定理的逆定理，得DA⊥AC．同理DB⊥BC．又AC⊥BC，AC=BC，∴四边形ABCD是正方形．∵Ｏ是对角线AB的中点，OD＝1/2ＡＢ＝３．在Rt△SOD中，S

5、D=4，OD=3，SO＝＝５．即S到直线AB的距离等于５cm。[思维点拔]用三垂线定理或其逆定理作出距离是最常用的方法．BabMNNAC例３：已知异面直线a,b的公垂线段AB=d，a,b所成的角为θ，在a,b上分别有点M,N，且MN=m，NB=n，求M,N两点的距离．解1：设AB为a,b的公垂线段，过Ｂ作直线a′使a∥a′，过Ｍ作MCa′垂足为Ｃ，得MCAB，连CN，MC⊥a′，b所在的平面，∴MC⊥NC，在Rt△MCN中，NC2+d2=MN2．（２）当点Ｍ，Ｎ在AB的同侧时，在△BNC中，NC2=m2+n2－

6、2mncosθ，．（２）当点Ｍ，Ｎ在AB的异侧时，在△BNC中，NC2=m2+n2+2mncosθ，ＡＢＣＤ．解2：利用向量[思维点拔]在两异面直线中求量常作一直线的平行平面而解决．例4：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为，求异面直线BD与B1C的距离．例4：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为，求异面直线BD与B1C的距离．解法一：（转化为线面距）因为BD∥平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离，由，即，得．ＡＢＣＤO解法二：（转化

7、为面面距）易证平面B1D1C∥平面A1BD，用等体积法易得Ａ到平面A1BD的距离为，同理可知：C1到平面B1D1C的距离为，而A1C=，故两平面间距离为．解法三：（垂面法）如图，BD∥平面B1D1C，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥OO1，∴B1D1⊥平面OO1C1C，平面OO1C1C∩平面B1D1C＝O1C，O1∈B1D1，故O到平面B1D1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高。MNＡＢＣＤE解法四：（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBC于E，过E作ENBD交BD于N，易知MN为BD与B1C的公垂线时，M

8、N最小。设BE=x，CE=ME=a－x，EN=，MN====。当时，时，。解法五：向量法[思维点拔]以上给出了求异面直线的几种常用方法，要细细体会并记住。三、课堂小结：求点到直线的距离，异面直线的距离主要是要知道所求的方法与技巧，并能较为熟练的运用。四、作业P1534、5、6、7