2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间直线.doc

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1、2．空间两条直线【知识点精讲】一）空间两条直线的位置关系位置关系图示表示方法公共点个数两直线共面相交AαaB一个平行baa∥b没有异面Aαba、b是异面直线没有二）异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。abbaabaAab画法：（2）异面直线判定：①定义法（多用于反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线（证之）。（3）异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。θ∈(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。求角方法

2、：平移法；补形法等（4）异面直线的公垂线及距离：。（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分（3）异面直线间的距离（即公垂线段的长）（4）求距离方法作公垂线段法，转移法：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。三）等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那

3、么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。四）平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。重难点：①　异面直线所成的角　②异面直线的距离思维方式：逻辑推理能力和空间想象能力特别注意：证明、推理过程中必须有理论依据，不能想当然。【例题选讲】例1：回答下列问题：（1）若，那么吗？一定共面吗？-4-用心爱心专心（1）过直线外一点作该直线的平行线，能作几条？怎样作？（2）过直线外一点作该直线的垂线，能作几条？（3）分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系如何？答：（1）但不一定共面。（2）有且只有一条，用平几方法作即可。（3）

4、无数条。（4）四个交点时异面，三个交点时相交。例2：（1）下列命题中正确的一个是（C）（A）若a与b是异面直线,b与c也是异面直线，则a与c也是异面直线；（B）已知异面直线a，b两条直线c，d分别与a，b都相交,则c，d也是异面直线；（C）四个角都是直角的四边形一定是矩形；（D）两条异面直线可能没有公垂线（2）关于异面直线a，b下述命题中不正确的一个是（B）（A）过直线a有且只有一个平面平行于b；（B）过直线a有且只有一个平面垂直于b（C）存在分别经过直线a与b的两个互相平行的平面（D）存在分别经过直线a与b的两个互相垂直的平面

5、（3）已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有(D)条.A.1B.2C.3D.4（4）异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是(C).A.30B.50C.60D.90cba例3：如图：已知直线，平面，，且，与是异面直线，求证：与是异面直线。证：反证假设与不是异面直线，（1）若，与题设矛盾（2）若和相交，与相交，与题设矛盾。所以与是异面直线。A1D1C1B1BACD例4：棱长为的正方体AC1中：（1）和棱AA1异面棱是哪些？

6、和AA1异面的面对角线有哪些？（2）求BD和B1C所成的角（3）求BD1和B1C所成的角（4）BD1与CC1之间的距离。解：（1）BC、DC、B1C1、D1C1；B1D1、BD、BC1、B1C、CD1、C1D（2）60°（3）90°（4）1ABCFHEGMOD例5：空间四边形ABCD，AB=BC=CD=DA=a对角线AC=BD=b，E、F、G、H分别为四边中点求：⑴四边形FEGH的面积；⑵BD与AC的距离解：（1）取BD中点连AO、CO，则BD⊥面AOC∴BD⊥AC，故四边形FEGH为矩形．所以面积为b2/4．（２）取ＡＣ中点为

7、Ｍ，则ＯＭ为BD与AC的公垂线段，且长为-4-用心爱心专心．[思维点拔]垂直主要通过线线垂直、线面垂直；异面直线的距离关键是公垂线段ABCDEMNPαβF例6：在二面角中，A、B∈α，C、D∈，ABCD是矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点．（１）证明：ＭＮ是异面直线ＡＢ和ＰＣ的公垂线；（２）求异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角．（１）证明：设Ｅ为ＣＤ的中点，连结ＰＤ、ＮＥ、ＥＭ∵ＰＡ⊥α，ＡＤ⊥∴ＰＤ⊥又∵Ｍ、Ｅ分别是ＰＣ、ＤＣ的中点∴ＮＥ∥ＰＤ，而ＰＤ⊥，∴⊥面PAD∴NE⊥，又M为AB中点∴ME⊥，故

8、⊥面MNE，∴⊥MN，又∥AB∴AB⊥MN∵ＰＡ⊥α∴PM2=PA2+AM2又知MC2=BC2+MB2∵PA=AD，ABCD是矩形，M为AB中点∴PM=MC，在等腰⊿PMC中，N为PC的中点∴MN⊥PC，故MN是异面直线ＡＢ和PC的公垂线．（２）解：设ＰＤ中点为