2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间角(一).doc

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1、9.12空间角(一)【知识点精讲】空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。(1)异面直线所成的角：范围是（0，π/2〕。求两条异面直线所成的角的大小一般方法一是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形

2、）；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角。二是利用设基向量或建立坐标系，利用向量的夹角，设为θ，则异面直线所成的角为θ或1800-θ。(2)直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]。求直线和平面所成的角的方法是：DBAC一是用的是射影转化法。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有。②如图DC⊥α,CB⊥AB由三垂线

3、定理知AB⊥BD.记∠DAB=θ∠CAB=β∠DAC=,则.二是求直线所在向量与平面的法向量的夹角，设为θ，则直线与平面所成的角为θ-900或900-θ。(3)确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底

4、面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；2重点难点:掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角的概念及求法。3思维方式:把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。4特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平

5、面上来，这里要特别注意平面角的探求。【例题选讲】例1：（1）直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）-4-用心爱心专心（A）（B）（C）（D）解：如图，连结D1F1，则D1F1，∵BC∴D1F1。设点E为BC中点，∴D1F1BE，∴BD1∥EF1，∴∠EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角。由余弦定理可求得。故选AD（2）PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.B.C.D

6、.解：构造正方体如图所示，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，则O为正ΔABP的中心，于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。设PC=a，则PO=，故，即选C。思维点拨：第（2）题也可利用公式直接求得。例2：在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点。（1）求CE与AF所成的角；（2）求直线CE与平面BCD所成的角。ABCDEFGH解：（1）连结FD，取FD的中点G，连结GE，∵E、G分别是AD、FD的中点，∴，故∠CEG（或其补角）即为CE与AF所成的角。设AB=a，在ΔCEG中，故CE与AF所成的角为。（2）∵正四面体ABCD，∴B

7、C⊥AF，BC⊥DF，∴BC⊥面AFD，∴面AFD⊥面BCD，过E作EH⊥DF于H，则EH⊥面BCD，则∠ECH为CE与面BCD所成的角。在RtΔCEH中，，即CE与平面BCD成的角为。思维点拨：准确作出线线、线面角是关键，熟记正四面体中的一些量对解题有帮助。例3：在的二面角中，，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求（1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面β所成的角。解：（1）如图所示，在平面α内，过A作AC⊥α，垂足为C；在平面β内，过B作BD⊥β，垂足为D；又在平面β内，过B作BECD，连结CE，则∠ABE为AB与

8、α所成的角，CEBD，从而CE⊥α，∠ACE=1200，∠AEB=900。在ΔACE中，由余弦定理，得-4-用心爱心专心在RtΔAEB中，。故直线AB