广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 棱柱

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1、§9.8棱柱1知识精讲：(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。(2)棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。(3)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n棱柱.按侧棱与底面的位置关系分类:棱柱(4)特殊的四棱柱:四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体(5)长方体对角线定理:长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长

2、的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.2重点难点：掌握好棱柱的性质,灵活地进行位置关系的判断与论证,进而达到计算的目的.3思维方式：割补法是求体积的基本方法，在体积的计算中常用到“等积变换”的技巧。4特别注意：注意平面几何知识在立体几何中的应用，以及将立体几何问题“平面化”即“降维”。计算问题必须要有严格的论证作为基础，不能只重计算结果，而轻视推理过程。ABCDABCB1A1C1A1D1B1C1例1．（1）三棱柱ABC－A1B1C1侧棱AA1与侧面BCC1B的距离为d，，则三棱柱ABC－A1B1C1

3、的体积为_______。法一：（补形法）将三棱柱补成四棱柱，则。法二：（分割法）连结，则∴。思维点拨：割补法是求体积常用的方法。（2）下列命题：①有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；③有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④有三个侧面是矩形棱柱是直棱柱。其中正确命题的个数是_______A.1B.2C.3D.4分析：①②显然不对.③相邻两侧面的公共边即侧棱垂直于底面.④中侧棱也垂直于底面.故选B.例2．如图，若A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC的中点。（1）证明：AB1∥平面DBC1；B1

4、A1C1ABCGFED（2）假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数。（1）证明：连结B1C、DC1、DB、BC1，并设B1CBC1=E，连结DE。∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，则B1BCC1为矩形，∴E为B1C的中点，又D为AC的中点，∴DE∥AB1且DE=AB1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1。（2）解：∵平面ABC⊥平面B1BCC1，作AG⊥BC于G，则AG⊥平面B1BCC1，DF⊥GF于F，则DF⊥平面B1BCC1，且DF=AG。∵DE⊥BC1，DF⊥平面B1BC1，∴

5、EF⊥BC1，∴∠DEF为二面角D-BC1-C的平面角。在△ABC中，设边长为，EG⊥BF，EF2=FG•FB，EF==DF，∴∠DEF=450。思维点拨：转化是数学的基本思想，本题中，证线面平行转化为线线平行，求二面角的大小转化为平面角的大小。故要掌握这种转化思想。D1DA1B1C1HEABC例3．平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是矩形，侧棱长为2cm，点C1在底面ABCD上的射影H是CD的中点，C1C与底面ABCD成600角，二面角A－C1C－D1的平面角等于300，求该平行六面体的表面积和体积。解：由C

6、1H⊥底面ABCD交CD于H，BC⊥CD，则BC⊥C1C，两侧面BB1C1C与AA1D1D是矩形，易知∠HCC1是C1C与底面ABCD所成的角，则∠HCC1=600，C1H=C1C•sin600=CH=C1C•cos600=1。CD=2CH=2。作DE⊥C1C于E，连AE，易知AD⊥侧面CC1D1D，则AE⊥C1C，∠AED等于二面角A-C1C-D1在平面角，∠AED=300，且AD=DE•tan300=（CD•sin600）•tan300=1。于是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的侧面积为：S侧=2（BC•C1C

7、+CD•C1C•sin600）=，S表=4（）体积=（BC•CD）•C1H=思维点拨：以DE为基础可作出平行六面体的直截面，由此也可求出全面积和体积。例4．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，点E，M分别为A1B，C1C的中点，过点A1，B，Ｍ三点的平面A1BMN交C1D1于点N。（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角B―A1N―B1的正切值。（1）证明：设A1B1的中点为F连接EF，FC1，∵E为A1B的中点∴EF∥B1B又C1M∥B1B∴EF∥MC1，∴四边形EMC1F为平行

8、四边形，∴EM∥FC1，∵EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1（2）解：作B1H⊥A1N于H且连接BH∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N∴∠BHB1为二面角B-A1N-B1的平面角，∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN