广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 反函数

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1、反函数一、基本知识1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出，若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以y为自变量的函数，这个函数叫函数y=f(x)的反函数，记作，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作。注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；（3）求出

2、并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1[f(x)]=x;（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，

3、只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；二、例题选讲例1：（考例1）求下列函数的反函数练习：（变式一）求下列函数的反函数例2、（考例2）已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。练习：1、（变式二）已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数的反函数。2、已知f(x+1)=2x，求。(=)例3、（考例3）（1）已知函数y=ax+b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a=,b=。（2）已知，则=。练习：（变式三）若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则

4、f-1(x)的值域是。例4、给定实数a，且，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。练习：（变式四）若函数的图像关于直线y=x对称，确定a,b的关系。例5、设，f(x)为奇函数，且（1）试求f(x)的反函数的解析式f-1(x)及f-1(x)的定义域；（2）设，若时，f-1(x)恒成立，求实数k的取值范围。练习：（变式五）已知函数的反函数f-1(x)，设，若，求a的取值范围。一、小结1、求反函数；2、利用反函数的性质解题；四、作业：能力提高：7、8、预测