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时间:2018-05-03
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1、归纳猜想高考题例析“观察———归纳———猜想———证明”是一种重要的思维模式,也是数学归纳法应用的重点题型.由于这类问题能培养同学们探索问题的能力,因而成为高考命题的热点.解这类问题,需要从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律,然后用数学归纳法证明.其中解题的关键在于正确的归纳猜想.下面以几道高考题为例加以说明. 例1 设数列满足,.当时,求,由此猜想出的一个通项公式,并给出证明. 分析:由及递推关系式得的值,猜想并用数学归纳法证明. 解:由,得; 由,得; 由,得. 由此猜想的一个通项公式:. 下面用数学归纳法证明. (1)当时,左边,右边,猜想成立
2、. (2)假设当时,猜想成立,即. 那么, 所以,当时,猜想成立. 根据(1)和(2),可知猜想对任何都成立. 例2 已知数列为其前项的和,计算得,,,.观察上述结果,推测出的公式,并用数学归纳法加以证明. 分析:观察分母得,分子为分母减1,用数学归纳法证明时要利用递推关系. 解:由已知推测. 用数学归纳法证明如下:(1)当时,左边,右边,推测成立.(1)假设当时推测成立,即,那么.即当时,推测也成立.根据(1)和(2)可知,推测对任何都成立.例3 已知点的序列,其中,是线段的中点,是线段的中点,,是线段的中点 (1)写出与,之间的关系式; (2)设,计算,由此推测数
3、列的通项公式,并加以证明. 分析:利用递推公式及归纳假设是解题的关键. 解:(1)当时,. (2); ; , 由此推测. 下面用数学归纳法证明:①当时,,推测成立.②假设当时,推测成立,即.那么,当时,,即当时,推测也成立.根据①和②可知,推测对任何都成立.
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