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时间:2020-04-11
《高考数学复习点拨 归纳——猜想——证明.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、归纳——猜想——证明数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。在学习合情推理时所猜得的结论,其可靠性的证明,常常也需要数学归纳法来解决。这就形成了数学中的一类典型题目,即:“归纳——猜想——证明”。例1数列满足。(1)计算,,,,并由此猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。分析:在用数学归纳法对(1)中的猜想证明时,关键是利用求得,在此要注意已知条件中等式的应用,由于它适用于所有自然数,因此可将其中的换做,然后两式相减,合并同类项即得到表达式。解析:(1
2、),,,,由此可猜想。(2)下面用数学归纳法证明:①当时,左边,右边,猜想成立。②假设时猜想成立,即,那么据已知,①,②由②-①可得,∴,即当时猜想也成立。根据①②可知,猜想对任何都成立。评注:高考对数学归纳法的考查时隐时现,有时隐蔽在递推数列中考查,应深刻理解与把握“归纳——猜想——证明”的基本方法,注重其应用。用心爱心专心例2已知…,是否存在的整式,使得等式…,对于大于1的一切自然数都成立,并证明你的结论。分析:假设存在,去探索等于多少。解析:当时,由,即,解得;当时,由,即,解得;当时,由,即=,解得。由此猜想。下面
3、用数学归纳法证明:当时,等式…成立。①当时,由以上经验可知等式成立。②假设当时等式成立,即…,则当时,…。∴当时,等式也成立。由①②知,对于大于1的自然数,存在整式,使得等式…总成立。评注:这是一个探索性问题,整式需要用经验归纳法来探求和发现,用观察、归纳、猜想的思维途径去概括,然后用数学归纳法给出严密的证明。用心爱心专心例3是否存在常数、、使等式对一切正整数成立?证明你的结论。分析:先取1、2、3,探求、、的值,然后用数学归纳法证明对一切的,、、所确定的等式成立。解析:分别用1、2、3代入解方程组,解得。下面用数学归纳法
4、证明:(1)当时,由上式可知等式成立;(2)假设当时等式成立,即,则当时,左端,∴当时,等式也成立。由(1)、(2)得等式对一切都成立。评注:本题是探索性命题,它通过观察——归纳——猜想——证明完整的思路过程去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是一种非常重要的思维能力。用心爱心专心
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