数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明

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1、数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案教学目标1．对数学归纳法的认识不断深化．2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题．师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；（2

2、）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．（二）归纳、猜想

3、、证明1．问题的提出　　师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg2，0，2lg2，5lg2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？生乙：我是看f（

4、2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg2，也就是从n=2，3，4，…分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．学生乙在用数学归纳法证

5、明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．（三）练习（四）小结（引导学生一起归纳小结）1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明．2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键

6、．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．（五）布置作业1．高级中学课本《代数》下册（必修）P129第35题．课堂教学设计说明　　利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．

7、　　在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．　　本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．　　至于课后

8、思考题，其计算、猜想都不困难，使学生对此题轻松上手．