数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明

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1、数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案教学目标1.对数学归纳法的认识不断深化.2.帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律,再用数学归纳法证明规律的科学思维方法.3.培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力,进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系.教学重点和难点用不完全归纳法猜想出问题的结论,并用数学归纳法加以证明.教学过程设计(一)复习引入师:我们已学习了数学归纳法,知道它是一种证明方法.请问:它适用于哪些问题的证明?生:与连续自然数n有关的命题.师:用数学归纳法证明的一般步骤是什么?生:共有两个步骤:(1)证明当n取第一个值n0时结论正确;(2)假设当

2、n=k(k∈N,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时,结论也正确.师:这两个步骤的作用是什么?生:第(1)步是一次验证,第(2)步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程.师:这实质上是在说明这个证明具有递推性.第(1)步是递推的始点;第(2)步是递推的依据.递推是数学归纳法的核心.用数学归纳法证题时应注意什么?生:两个步骤缺一不可.证第(2)步时,必须用归纳假设.即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立.师:只有这样,才能保证递推关系的存在,才真正是用数学归纳法证题.今天,我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题.请看例1.(二)归纳、猜想、证明1.问题的

3、提出  师:我们一起来看两位同学的解题过程.学生甲的计算结果正确,但没有猜出来.学生乙没有求出f(2),f(3),f(4)的值,但猜出了计算公式,并用数学归纳法给予了证明.题目要求求值,还是应写出结果的,说说你这么写的理由吧.生乙:其实一开始,我跟学生甲一样,先算出了f(2),f(3),f(4)的值,但从-lg2,0,2lg2,5lg2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了,这“多少倍的”从-1,0,2,5实在无法断定,于是我就往回找,从计算的过程中,我发现了规律,一高兴就忘了写结果了.师:你是怎么从计算的过程中发现规律的?生乙:我是看f(2),f(3),f(4)

4、每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上(n-1)lg2,也就是从n=2,3,4,…分别代入递推关系式f(n)=f(n-1)+(n-1)lg2的求值计算过程中得到的.这里算每一个时要用前一个的结果,写时也用它的计算过程来表示,这样就容易发现规律了.师:实际上,他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的,这种归纳我们不妨称之为:“猜结构”,而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧.其实,我们在猜想时,往往是先看结果,从结果得不出猜想时,再看过程,从解题过程中的式子结构去思考.但不管怎么猜想,都离不开对题目特征的认识.学生乙在用数学归纳法证明猜想时,注意了两个步骤及归纳假

5、设的使用,证明正确.这个问题解决得非常好.归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法,重要的解题途径,它是我们认识数学的一把钥匙.(三)练习(四)小结(引导学生一起归纳小结)1.归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程,既需要探求和发现结论,又需要证明所得结论的正确性.它引导我们在数学的领域中积极探索,大胆猜想,可以充分地发挥我们的数学想象力.同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明.2.归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想,而数学归纳法的作用是证明猜想.在归纳、猜想、证明的过程中,猜想是关键.我们可以“猜结果”,也可以“猜过程”,

6、只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系,就不难得到猜想.在用数学归纳法证明时,有时还可以弥补猜想中的不足.(五)布置作业1.高级中学课本《代数》下册(必修)P129第35题.课堂教学设计说明  利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题,在课本中虽无这类例题,但复习参考题的最后一道却属此类.它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大.在归纳、猜想、证明中,准确猜想是关键.因此我们把重点放在了如何猜想.它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决,而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义.  在例题、习题、作业题的配备上,我们认为高中的

7、学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高(较初中而言).因此在题目的设置上,我们加大了思维的含量.让学生在处理每一个问题,操作每一步时都必须有所思考,使学生深切体会到:数学不能死记硬背,也不能生搬硬套.要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学.  本节安排的这道练习题.从题目本身看,学生得不到一个解题程序,似乎无从下手.但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话,他就会有解题意识与思路.更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程,体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系.  至于课后思考题,其计算、猜想都不困难,使学生对此题轻松上手.

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