高考数学第一轮复习--归纳猜想证明

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1、高考数学第一轮复习--归纳—猜想—证明（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论.（二）学习要点：在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无

2、功；③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明.【例1】已知数列满足关系式N+），（Ⅰ）用a表法a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.[解析]（Ⅰ）（Ⅱ）（）猜想下面用数学归纳法证明：1°．当n=1时，当n=1结论正确；2°．假设当n=k时结论正确，即，∴当n=k+1时=当n=k+1时结论也正确；根据1°与2°命题对一切n∈N*都正确.[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华

3、城A座10层电话：029-86570103第6页共6页【例2】已知数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论.[解析]很容易算出a2=5，a3=16，a4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.∵a2=2a1+3×2°=2×1+3×2°，a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；用数学归纳法证明：1°．当n=1时，a1=2－1×=1，结论正确；2°．假设n=k时，ak=2

4、k－2（3k－1）正确，∴当n=k+1时，=结论正确；由1°、2°知对n∈N*有[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例3】已知等差数列中，a2=8，前10项的和S10=185，（Ⅰ）求数列的通项公式an；（Ⅱ）若从数列中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；（Ⅲ）设Bn=n（5+3an），试比较An和Bn的大小，并说明理由.[解析]（Ⅰ）设公差为d，∴（Ⅱ）设新数列为，∴∴An=3×（2+22+23+…+2n）+2n=3×2n＋1+2n－6；（Ⅲ）∵A4=3

5、×32+2=98，A5=3×64+4=196，A6=3×128+6=390，A7=3×256+8=776，……而B1=20，B2=58，B3=114，B4=188，B5=280，B6=390，B7=518，……①当n=1，2，3，4，5时，Bn>An；②当n=6时，B6=A6；③当n≥7，且n∈N*时，猜想An>Bn，用数学归纳法证明：1°．当n=7时，A7=766>518=B7，结论正确；地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第6页共6页2°．假设当n=k（k≥7）时，Ak>Bk，即3×2k+1+2k－6>9k2+11k2k+1

6、>3k2+3k+2，∴n=k+1时，=6×2k+2－9k2－27k－24=6×[2k+1－（3k2+3k+2）]+6×（3k2+3k+2）－9k2－27k－24=6×[2k+1－（3k2+3k+2）]+9k2－9k－12>9k2－9k－12=9k（k－1）－12≥9×7×（7－1）－12>0∴Ak+1>Bk+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1°、2°知当n≥7且n∈N*时，有An>Bn.[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列满足：问是否存在常数p、q，使得对一切n∈N*都有并说明理

7、由.[解析]∵设存在这样的常数p、q，∴由此猜想，对n∈N*，有下面用数学归纳法证明这个结论：1°．当n=1时，，结论正确；2°．假设当n=k时结论正确，即∴当n=k+1时，∴当n=k+1时结论正确，故当n∈N*时，成立.[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.《训练题》一、选择题地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：029-86570103第6页共6页1．已知数列的前n项和，而，通过计算猜想（）A．B．C．D．2．已知数列