高三数学一轮复习基础导航 6.3平面向量的数量积

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1、6.3平面向量的数量积【考纲要求】1、平面向量的数量积　　①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.　　②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.　　③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2、向量的应用　　①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.　　②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【基础知识】1、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量与，作，则叫与的夹角。当时与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。2、平面向量的数量积（内积）（1）平面向

2、量的数量积（内积）的定义：已知两个非零的向量与，它们的夹角是，则数量

3、

4、

5、

6、叫与的数量积，记作·，即有·=

7、

8、

9、

10、。（2）对于不谈它与其它向量的夹角问题。（3）与的夹角，记作,确定向量与的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点。如：但是（4）平面向量的数量积是一个实数，可正，可负，可零，它不是一个向量。（5）在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”，向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。（6）·的几何意义：数量积·等于的长度

11、

12、与在的方向上的投影

13、

14、的乘积。（

15、7）向量的数量积公式变形后，得到，可以求两个向量的夹角。3、平面向量的数量积的运算律(1)·=（交换律）;(2)（）·=（·）=·=·（）(结合律)(3)（）·=·+·.（分配律）4、平面向量数量积的坐标表示(1)设=,=，则(竖乘相加).（2）设，则，。（3）设=,=，则（(竖乘相加等于零).设=,=，则

16、

17、（斜乘相减等于零）（4）设=,=，为向量与的夹角，则（5）设,，=。5、温馨提示（1）数量积不满足结合律，即（2）消去律不成立。即由不能得到（3）由不能得到或（4）乘法公式和完全平方和差仍然成立：【例题精讲】例1已知向量与互相垂直，其

18、中．（1）求和的值；（2）若，求的值．解（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.（2）∵，，∴，则，例2如图，已知△ABC中，

19、AC

20、=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。（1）求关于θ的表达式;（2）求的值域。解：（1）由正弦定理，得（2）由，得∴，即的值域为.6.3平面向量的数量积强化训练【基础精练】1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为(　　)A．－2　　　　　　　　　B．2C．－D．不存在2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－

21、xb)的图象是一条直线，则必有(　　)A．a⊥bB．a∥bC．

22、a

23、＝

24、b

25、D．

26、a

27、≠

28、b

29、3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，1)4．已知△ABC中，a·b<0，S△ABC＝，

30、a

31、＝3，

32、b

33、＝5，则∠BAC等于(　　)A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°5．(·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于(　　)A.B.C.D.6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　　)A．－16B．－

34、8C．8D．167．已知向量a，b满足

35、b

36、＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．8．已知平面向量α，β，

37、α

38、＝1，

39、β

40、＝2，α⊥(α－2β)，则

41、2α＋β

42、的值是________．9．已知

43、a

44、＝2，

45、b

46、＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.10．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．11．已知

47、a

48、＝，

49、b

50、＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．12．设在平面上有两个向量

51、a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时的最小值．【拓展提高】1.已知,,,。（1）求；（2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝，，求sinx2.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，

52、a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知m＝，n＝，