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1、循本索源变中出彩高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析江苏省苏州第十中学吴铐在髙数学复习课中，如何真止做到精讲精练，提高复习效率，是髙二数学老师所面对的一个重婆课题.从典型的基础问题入手，通过一题多解、触类旁通，或一题多变、举一反三，进行有效的变式教学既是我国数学教学的优良传统，也是新课稈背景下引发学生自主、合作、探究的重要途径.下面以本人的一节高三数学复习课《平面向量的数量积》为例.通过对高考试题的循本索源，引导学生进行自主探究、变中生成的教学实况，希望对髙厂数学复习有所启发.一、课堂教学简录与赏析1.一题多变，唤醒知识问题1已知
2、a
3、=2,
4、
5、&
6、=4,向量a与〃的夹角60°,求a(b-a)的值.教师：这是08年北京卷的一个改编题，请同学们快速给出答案.学牛齐答：a^-a)=ab-a2=0.教师：很好！我们通过这个问题的解答，复习了向量数量积的公式：a-b=a-bcos3.请同学们继续解决下面的问题.变题1已知
7、a
8、=2,W
9、=4,且向量a与b-a垂直，求向量a与0夹角.学牛:A：将公式变形，cos〃=-^—=—=丄，由()W&W龙，向量“与方夹角为60°.I«M*Il«M*l2教师：同学A的解法实际上给出了求两个向量夹角的具体方法.那么下面的问题你能解吗？变题2已知
10、°
11、=2
12、,
13、〃
14、=4,向量。与〃的夹角60°,求向量a与2a~b的夹角.再用公式求出其夹角为60°.R三角形，很快就求出几何知识的确可以卷的问题“已知角为钝角，求实数k学生B：用同学A的方法，先求l\2a-b=4和a与2a_b的o(2a-〃)=4,学生C：我根据题意画了一张图，发现向量2a,〃和2a~b好构成一个正来了.同时我根据这个图还可以求出向量"与加+D的夹角为30°・教师：C同学做得非常棒！数学结合的方法开阔了我们的思路，借助于平面快速解题，也说明我们掌握了向量的本质.B同学的解法恰好完成了08年江苏“
15、=1,
16、曙3,向量a与方夹角120°,
17、则5a~b=”.教师：请同学们继续探究下面的问题.变题3已知a=2,b=4，向量a与b的夹角60°，若向量ka+b.a-2b夹的取值范围.学生D：我认为只要(肋+〃)•(-7.学生E：D同学的答案没有考虑到这两个向量是否同向共线，要加上点工-丄・2教师：学生E的补充很重要，事实上从向量数量积公式屮我们可以知道，向量a,〃的夹角为锐角或钝角，都要考虑a,b不共线.教师：前面我们围绕平面向量数量积的公式，从不同的角度创造了使用公式的条件.下面的问题同学们能解决吗？坐标系来求解.ADAB=事实上这种方法称为要观察两个
18、向量的夹变题4在直角ZABC中，ZA=90°,D为斜边BC的中点，AB=2,AC=4,求乔•五.学生讨论，方法丄要有：将向量分解成AD=-(AB+AC)或建立玄角2学生F：我想到了一个好方法，如图，过D作AB的垂线DE,则AB^ADcosZDAB)=
19、I•I1=2x1=2.教师：同学F的想法太妙了，对平面向量数量积的公式的本质理解了,投影法，它可以把两个向量投影到一个向量上，用长度来计算，当然还需角是锐角还是钝角，以确定符号.赏析：从问题1这个最基本的问题出发，通过变式创造了利用平面向量数量积公式的各个不同的视点，帮助学生在解决问题中系统地
20、理解和掌握了公式的本质.变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面.使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容.用问题串构筑数学基础知识复习的方法是高三数学复习教学的非常有效的策略.2.解后反思，变中出彩表示对角线所对应问题2在平面坐标系中，已知点/(—1,-2),5(2,3)，C(—2,-1).(1)求以线段力/C为邻边的平行四边形的两条
21、对角线的长；(2)设实数/满足(AB-tOC)OC=0,求/的值.教师：本题是10年江苏卷的题”，请同学们思考解决方案.学牛:讨论，对于(1),焦点主要是要不要求出D点的坐标，述是用向量五，农的向量.对于(2),焦点丄要是坐标代人运算还是用运算法则.学生相互评点方法的优劣，教师适时点拨，达成共识.教师：请同学们进一步思考下面的问题.变题1在问题2的条件下，设/UR,当
22、屈疋
23、最小时，求久的值.学生讨论，共识为将
24、乔-2疋
25、平方后转化为关于2的二次函数
26、AB-AAC
27、2=2(2-1)2+32>32,当且仅当2=1时，
28、丽-兄元
29、取得最小值学生G：受问
30、题1研究的启发，可以从研究向量乔-兄疋的儿何意义入手AB-AAC^得最小值，只有向量AB-AAC与疋垂直就可以了，解题
