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1、第十节 平面向量的数量积及平面向量应用举例考纲点击1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.热点提示1.平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变.2.可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点.1．
2、平面向量的数量积定义a·b＝规定：0·a＝坐标表示a·b＝运算律(1)a·b＝b·a(λa)·b＝＝(a＋b)·c＝a在b方向上的投影b在a方向上的投影a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度
3、a
4、与的投影的乘积
5、a
6、b
7、cosθ0x1x2＋y1y2λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c
8、a
9、cosθ
10、b
11、cosθb在a方向上
12、b
13、cosθ2.与平面向量的数量积有关的结论已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模
14、a
15、＝
16、a
17、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0
18、a·b
19、与
20、a
21、
22、b
23、的关系
24、
25、a·b
26、≤
27、a
28、
29、b
30、
31、x1x2＋y1y2
32、≤3.向量方法解决几何问题的步骤(1)建立几何与的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为问题；(2)通过，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题；(3)把运算结果“翻译”成．向量向量向量向量的运算几何关系1．下列四个命题中，真命题的个数是()①若a·b＝0，则a⊥b；②若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2.A．4B．2C．0D．3【解析】①当a·b＝0时，a⊥b或a＝0或b＝0.故①命题错．②∵a·b＝b·c，∴b·(a
33、－c)＝0，又∵b≠0，∴a＝c或b⊥(a－c)，故②命题错误．③∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等．故③命题不正确．④∵(a·b)2＝(
34、a
35、
36、b
37、cosθ)2＝
38、a
39、2
40、b
41、2cos2θ≤
42、a
43、2·
44、b
45、2＝a2·b2，故④命题不正确【答案】C2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26
46、，－78)．【答案】A3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()【答案】C4．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则
47、a
48、＝________.5．已知
49、a
50、＝1，
51、b
52、＝，且a⊥(a－b)，则向量a与b的夹角是________．【解析】∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，∴a·b＝1.设a与b的夹角为θ，则(1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)
53、a＋b
54、.【思路点拨】利用平面向量数量积的定义及运算律．可求出第(1)问；求
55、a＋b
56、可先求(a＋b)2，再开方．【方法点评】1.向量的数量积有两
57、种计算方法，一是利用公式a·b＝
58、a
59、
60、b
61、cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)
62、a
63、2＝a2＝a·a；(2)
64、a±b
65、2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时的最小值．【思路点拨】(1)可通过求a·b＝0证明a⊥b.(2)
66、由x⊥y得x·y＝0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值．∴a⊥b.(2)由x⊥y得：x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k
67、a
68、2＋(t3＋3t)
69、b
70、2＝0.又
71、a
72、2＝1，
73、b
74、2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.【方法点评】1.非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．特别提醒：把向量都用坐标表示，
75、并不一定都能够简化运算，要因题而异．已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b
