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1、第十节 平面向量的数量积及平面向量应用举例考纲点击1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.热点提示1.平面向量数量积的运算,模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点,多以选择、填空题的形式出现,属中低档题,但灵活多变.2.可与三角函数、解析几何等知识综合命题,是高考的另一个热点.1.
2、平面向量的数量积定义a·b=规定:0·a=坐标表示a·b=运算律(1)a·b=b·a(λa)·b==(a+b)·c=a在b方向上的投影b在a方向上的投影a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度
3、a
4、与的投影的乘积
5、a
6、b
7、cosθ0x1x2+y1y2λ(a·b)a·(λb)a·c+b·c
8、a
9、cosθ
10、b
11、cosθb在a方向上
12、b
13、cosθ2.与平面向量的数量积有关的结论已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)结论几何表示坐标表示模
14、a
15、=
16、a
17、=夹角cosθ=cosθ=a⊥b充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0
18、a·b
19、与
20、a
21、
22、b
23、的关系
24、
25、a·b
26、≤
27、a
28、
29、b
30、
31、x1x2+y1y2
32、≤3.向量方法解决几何问题的步骤(1)建立几何与的联系,用表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为问题;(2)通过,研究几何元素之间的关系,如夹角、距离、垂直、平行等问题;(3)把运算结果“翻译”成.向量向量向量向量的运算几何关系1.下列四个命题中,真命题的个数是()①若a·b=0,则a⊥b;②若a·b=b·c且b≠0,则a=c;③(a·b)·c=a·(b·c);④(a·b)2=a2·b2.A.4B.2C.0D.3【解析】①当a·b=0时,a⊥b或a=0或b=0.故①命题错.②∵a·b=b·c,∴b·(a
33、-c)=0,又∵b≠0,∴a=c或b⊥(a-c),故②命题错误.③∵a·b与b·c都是实数,故(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等.故③命题不正确.④∵(a·b)2=(
34、a
35、
36、b
37、cosθ)2=
38、a
39、2
40、b
41、2cos2θ≤
42、a
43、2·
44、b
45、2=a2·b2,故④命题不正确【答案】C2.已知a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则a·(b·c)等于()A.(26,-78)B.(-28,-42)C.-52D.-78【解析】a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26
46、,-78).【答案】A3.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为()【答案】C4.若b=(1,1),a·b=2,(a-b)2=3,则
47、a
48、=________.5.已知
49、a
50、=1,
51、b
52、=,且a⊥(a-b),则向量a与b的夹角是________.【解析】∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则(1)(3a-2b)·(a-2b);(2)
53、a+b
54、.【思路点拨】利用平面向量数量积的定义及运算律.可求出第(1)问;求
55、a+b
56、可先求(a+b)2,再开方.【方法点评】1.向量的数量积有两
57、种计算方法,一是利用公式a·b=
58、a
59、
60、b
61、cosθ来计算,二是利用a·b=x1x2+y1y2来计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:(1)
62、a
63、2=a2=a·a;(2)
64、a±b
65、2=(a±b)2=a2±2a·b+b2;已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),(1)求证:a⊥b;(2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb,满足x⊥y,试求此时的最小值.【思路点拨】(1)可通过求a·b=0证明a⊥b.(2)
66、由x⊥y得x·y=0,即求出关于k,t的一个方程,从而求出的代数表达式,消去一个量k,得出关于t的函数,从而求出最小值.∴a⊥b.(2)由x⊥y得:x·y=0,即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0,∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0,∴-k
67、a
68、2+(t3+3t)
69、b
70、2=0.又
71、a
72、2=1,
73、b
74、2=1,∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t.【方法点评】1.非零向量a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.2.当向量a与b是非坐标形式时,要把a、b用已知的不共线的向量表示.特别提醒:把向量都用坐标表示,
75、并不一定都能够简化运算,要因题而异.已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b