高考数学复习-平面向量的数量积基础(2).doc

《高考数学复习-平面向量的数量积基础(2).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两

2、个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方

3、向上的投影是向量的数量，即．事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．要点三：平面向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，.特别的或4.5.要点四：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，，2.设

4、，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件(3)求夹角问题．由向量，数量积可知，若它们的夹角为，则，利用(4)求线段的长度，可以利用或【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1．已知、、是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（）①·=±

5、

6、·

7、

8、∥；②、反向·=－

9、

10、·

11、

12、；③⊥

13、+

14、=

15、－

16、；④

17、

18、=

19、

20、

21、·

22、=

23、·

24、．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）∵·=

25、

26、

27、b

28、cos

29、，∴由·=±

30、

31、

32、

33、及、为非零向量可得cos=±1，∴=0或π，∴∥，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．（2）若、反向，则、的夹角为π，∴·=

34、

35、

36、

37、cosπ=―

38、

39、

40、

41、且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．（3）当⊥时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有

42、+

43、=

44、―

45、．反过来，若

46、+

47、=

48、―

49、，则以、为邻边的四边形为矩形，∴⊥，故叙述③是正确的．（4）当

50、

51、=

52、

53、，但与的夹角和与的夹角不等时，就有

54、·

55、≠

56、·

57、，反过来的由

58、·

59、=

60、·

61、也推不出

62、

63、=

64、

65、．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3

66、个是正确的，而第4个是不正确的．【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．举一反三：【变式1】如果·=·，且≠0，那么（）A．=B．=C．⊥D．、在方向上的投影相等【答案】D类型二：平面向量数量积的运算例2．已知

67、

68、=4，

69、

70、=5，当（1）∥，（2）⊥，（3）与的夹角为30°时，分别求与的数量积．【思路点拨】已知向量

71、

72、与

73、

74、，求·，只需确定其夹角．【解析】（1）当∥时，有=0°和=180°两种可能．若与同向，则=0°，·=

75、

76、

77、b

78、cos0°=4×5×1=20；若与反向，则=180°，·=

79、

80、

81、

82、cos180°=4

83、×5×(―1)=―20．（2）当⊥时，=90°，·=

84、

85、

86、

87、cos90°=0．（3）当与的夹角为30°时，·=

88、

89、

90、

91、cos30°=4×5×．【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，与之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连接，也不能省略．（2）求平面向量数量积的步骤是：①求与的夹角，∈[0°，180°]．②分别求

92、

93、和

94、

95、．③求它们的数量积，即·=

96、

97、

98、

99、·cos．举一反三：【变式1】已知

100、

101、=5，

102、

103、=4，〈，〉=，求（+）·.【答案】35【解析】（+）·=