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时间:2018-05-02
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1、高二数学“每周一练”系列试题(26)(命题范围:双曲线)1.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,并且焦点都在圆x2+y2=100上,求双曲线的方程.2.已知双曲线C:-y2=1,P为C上的任意点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点A的坐标为(3,0),求
2、PA
3、的最小值.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.4.已知双曲线的
4、中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:·=0;(3)求△F1MF2面积.5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是.(1)求双曲线的方程;(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点,若·=-23,求直线m的方程.参考答案1.解:(1)当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由渐近线方程y=±x,得=.①又焦点在圆x2+y2=100上,知c=10,即a2+b2=100.②由①②解得a=6,b=
5、8.∴所求双曲线方程为-=1.(2)当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由⇒∴所求双曲线方程为-=1.综上,所求双曲线方程为-=1或-=1.2.解:(1)证明:设P(x1,y1)是双曲线上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和,它们的乘积是·==.故点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)设点P的坐标为(x,y),则
6、PA
7、2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1=(x-)2+,∵
8、x
9、≥2,∴当x=时,
10、PA
11、2取得最小值,最小值为,即
12、PA
13、的最小值
14、为.3.解:(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知得:a=,c=2,再由a2+b2=c2,∴b2=1,∴双曲线方程为-y2=1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由题意知解得<k<1.∴当<k<1时,l与双曲线左支有两个交点.(3)由(2)得:xA+xB=,∴yA+yB=(kxA+)+(kxB+)=k(xA+xB)+2=,∴AB的中点P的坐标为(,).设直线l0的方程为:y=-x+b,将P点坐标代入直线l0的方程,得b=.∵<k<1,∴-2<1-3k2<0,∴b<-2.∴b的
15、取值范围为(-∞,-2).4.解:(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,kMF1·kMF2==-.∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0
16、.(3)△F1MF2的底
17、F1F2
18、=4,由(2)知m=±.∴△F1MF2的高h=
19、m
20、=,∴S△F1MF2=6.5.解:(1)依题意,l方程+=1,即bx-ay-ab=0,由原点O到l的距离为,得==,又e==,∴b=1,a=.故所求双曲线方程为-y2=1.(2)显然直线m不与x轴垂直,设m方程为y=kx-1,则点M、N坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.①依题意,1-3k2≠0,由根与系数关系,知x1+x2=,x1x2=·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-1)(k
21、x2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1=-+1=+1.又∵·=-23,∴+1=-23,k=±,当k=±时,方程①有两个不相等的实数根,∴方程为y=x-1或y=-x-1.
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