高二数学“每周一练”系列试题（27）

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1、高二数学“每周一练”系列试题（27）1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．2．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；（2）过点P（2，－4）；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，

2、AF

3、＝5．3．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：·＝0．4．已知A、B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M（0,4）满足＝λ．（1）求证：⊥；（2）设抛物线

4、C过A、B两点的切线交于点N．①求证：点N在一条定直线上；②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．5．设抛物线过定点A（2,0），且以直线x＝－2为准线．（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（2）已知点B（0，－5），轨迹C上是否存在满足·＝0的M、N两点？证明你的结论．参考答案1．解：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为，2、解：（1）双曲线方程化为－＝1，左顶点为（－3,0），由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p>0）且＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x．（2）由于P（2，－4）在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx或

5、x2＝ny．代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y．（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3），由抛物线定义得5＝

6、AF

7、＝

8、m＋

9、．又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x．3、证明：设Q（，y0），则R（－，y0），直线OQ的方程为y＝x，将x＝－代入上式，得y＝－，∴P（－，－）．又F（，0），∴＝（p，），＝（p，－y0）．∴·＝0．4、解：设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y＝kx＋4与x2＝4y联立得x2－4kx－16＝0，Δ＝（－4k）2－4（－1

10、6）＝16k2＋64>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，（1）证明：·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋4）（kx2＋4）＝（1＋k2）x1x2＋4k（x1＋x2）＋16＝（1＋k2）（－16）＋4k（4k）＋16＝0，∴⊥．（2）①证明：过点A的切线：y＝x1（x－x1）＋y1＝x1x－x，①过点B的切线：y＝x2x－x，②联立①②得点N（，－4），所以点N在定直线y＝－4上．②∵＝λ，∴（x1，y1－4）＝λ（－x2,4－y2），联立可得k2＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，∴≤k2≤．直线MN：y＝x＋4在x轴的截距为k，∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[－，－]∪[，]．5

11、、解：（1）设抛物线顶点P（x，y），则抛物线的焦点F（2x＋2，y），由抛物线的定义可得＝4．∴＋＝1．∴轨迹C的方程为＋＝1（x≠2）．（2）不存在．证明如下：过点B（0，－5）斜率为k的直线方程为y＝kx－5（斜率不存在时，显然不符合题意），由得（4＋k2）x2－10kx＋9＝0，由Δ≥0得k2≥．假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k1、k2，则

12、k1

13、≥，

14、k2

15、≥，显然不可能满足k1·k2＝－1，∴轨迹C上不存在满足·＝0的两点．