高二数学“每周一练”系列试题(28)

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1、高二数学“每周一练”系列试题(1)1.已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点.一动圆过点,且与直线相切。(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆的方程;(ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程;(Ⅱ)在曲线上有两点,椭圆上有两点,满足与共线,与共线,且,求四边形面积的最小值。2.已知抛物线的焦点为F,椭圆C:的离心率为,是它们的一个交点,且.(I)求椭圆C的方程;(II)若直线与椭圆C交于两点A.B,点D满足=0,直线FD的斜率为,试证明.3.已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线交椭圆于不同的两点,.(1)求椭圆的方程;(2)若,且,求的值(点为坐

2、标原点);(3)若坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M.N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.5.已知动圆P过点并且与圆相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线与轨迹W交于A.B两点。(1)求轨迹W的方程;(2)若,求直线的方程;(3)对于的任意一确定的位置,在直线上是否存在一点Q,使得,并说明理由。参考答案1.解:(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得,则所求椭

3、圆方程.         (ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线的焦点为,准线方程为,则动圆圆心轨迹方程为.(Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时,

4、MN

5、=4,此时PQ的长即为椭圆长轴长,

6、PQ

7、=4,从而.设直线的斜率为,则,直线的方程为:直线PQ的方程为,设由,消去可得由抛物线定义可知:由,消去得,从而,∴令,∵k>0,则则所以所以四边形面积的最小值为8.2.解:(I)设将,根据抛物线定义,,∴,∵,即,∴,椭圆是把代入,得a=2,b=1,椭圆C的方程为;(II)方法1:,点D为线段AB的中点设,,∴,由,得,∵,∴,,∴.方法2:,

8、点D为线段AB中点,设,,∴,由,得,∵,∴,,∵,,∴.方法3:由,得,令,得,设,,点D为线段AB的中点,设,,∵,∴,,∵,,∴.3.⑴设椭圆的半焦距为,依题意,解得.由,得∴所求椭圆方程为⑵∵,∴.设,其坐标满足方程,消去并整理得,则故.∵,∴∴,经检验满足式.⑶由已知,,可得将代入椭圆方程,整理得∴.∴当且仅当,即时等号成立.经检验,满足(*)式.当时,综上可知,所以,当最大时,的面积取得最大值.4.解:(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知得a=,c=2.又a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的方程为-y2=1

9、.(2)联立整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.∵直线与双曲线有两个不同的交点,∴,可得m2>3k2-1且k2≠①设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0).则x1+x2=,x0==,y0=kx0+m=.由题意,AB⊥MN,∵kAB==-(k≠0,m≠0).整理得3k2=4m+1②将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-∴m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).5.解:(1)依题意可知∴,∴点P的轨迹W是以M.N为焦点的双曲线的右支,设其方程为则∴,∴

10、轨迹W的方程为(2)当的斜率不存在时,显然不满足,故的斜率存在,设的方程为,由得,又设,则由①②③解得,∵∴∴代入①②得,消去得,即,故所求直线的方程为:;(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点若直线的斜率不存在,则以AB为直径的圆为,可知其与直线相交;若直线的斜率存在,则设直线的方程为,由(2)知且,又为双曲线的右焦点,双曲线的离心率e=2,则设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直径的距离为d,则∴∵∴即,即直线与圆S相交。综上所述,以线段AB为直径的圆与直线相交;故对于的任意一确定的位置,与直线上存在一点Q(实际上存在两

11、点)使得

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