2010-2011学年高二数学“每周一练”系列试题（28）.doc

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1、高二数学“每周一练”系列试题（1）1．已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切。（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ）求动圆圆心轨迹的方程；（Ⅱ）在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值。2．已知抛物线的焦点为F，椭圆C：的离心率为，是它们的一个交点，且．（I）求椭圆C的方程；（II）若直线与椭圆C交于两点A．B，点D满足=0，直线FD的斜率为，试证明．3．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，．（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值（点为坐标原点）；（3）若坐标原点到直线的距离

2、为，求面积的最大值．4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（，0）．（1）求双曲线C的方程；用心爱心专心（2）若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M．N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1），求实数m的取值范围．5．已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A．B两点。（1）求轨迹W的方程；（2）若，求直线的方程；（3）对于的任意一确定的位置，在直线上是否存在一点Q，使得，并说明理由。参考答案用心爱心专心1.解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，则所求椭圆方程.　　　　　　　　　（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨

3、迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.（Ⅱ）当直线MN的斜率不存在时，

4、MN

5、=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，

6、PQ

7、=4，从而.设直线的斜率为，则,直线的方程为：直线PQ的方程为，设由，消去可得由抛物线定义可知：由，消去得，从而，∴令，∵k>0，则用心爱心专心则所以所以四边形面积的最小值为8.2.解：（I）设将，根据抛物线定义，，∴，∵，即，∴，椭圆是把代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为；（II）方法1：，点D为线段AB的中点设，，∴，由，得，∵，∴，，∴．方法2：，点D为线段AB中点，设，，∴，由，得，∵，∴，，∵，，∴．用心爱心专心方法3：

8、由，得，令，得，设，，点D为线段AB的中点，设，，∵，∴，，∵，，∴．3.⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．由，得∴所求椭圆方程为⑵∵，∴．设，其坐标满足方程，消去并整理得，则故．∵，∴∴，经检验满足式．⑶由已知，，可得将代入椭圆方程，整理得∴．用心爱心专心∴当且仅当，即时等号成立．经检验，满足（*）式．当时，综上可知，所以，当最大时，的面积取得最大值．4．解：（1）设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）．由已知得a＝，c＝2.又a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的方程为－y2＝1.（2）联立整理得（1－3k2）x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交

9、点，∴，可得m2＞3k2－1且k2≠①设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.由题意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－（k≠0，m≠0）．整理得3k2＝4m＋1②将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.又3k2＝4m＋1＞0（k≠0），即m＞－∴m的取值范围是（－，0）∪（4，＋∞）．5．解：（1）依题意可知∴，∴点P的轨迹W是以M．N为焦点的双曲线的右支，设其方程为则用心爱心专心∴，∴轨迹W的方程为（2）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，设的方程为，由得，又设，则由①②③解得，∵∴∴代入①②

10、得，消去得，即，故所求直线的方程为：；（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线相交；若直线的斜率存在，则设直线的方程为，由（2）知且，又为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，则设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径的距离为d，则∴用心爱心专心∵∴即，即直线与圆S相交。综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；故对于的任意一确定的位置，与直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得用心爱心专心