2010-2011学年高二数学“每周一练”系列试题（20）.doc

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1、高二数学“每周一练”系列试题（20）1．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N＋满足关系式2Sn＝3an－3.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.2．已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，则Tn<2.3．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

2、（1）求an与bn；（2）求＋＋…＋.用心爱心专心4．已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=（nN*），求数列的前n项和．5．在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，证明.参考答案用心爱心专心1．解：（1）由题意知2an＝Sn＋2，an>0，当n＝1时，2a1＝a1＋2，∴a1＝2.当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得＝2.∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an＝a1·2n－1＝2n（n∈N＋）．（2）

3、证明：由（1）知an＝2n，∴bn＝.Tn＝＋＋＋…＋.①Tn＝＋＋＋…＋，②①－②，得Tn＝＋＋＋＋…＋－，∴Tn＝1－－.∴Tn＝2－<2.2．解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋（n－1）d，bn＝qn－1，依题意有解得或（舍去）故an＝3＋2（n－1）＝2n＋1，bn＝8n－1.（2）Sn＝3＋5＋…＋（2n＋1）＝n（n＋2），所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝（1－＋－＋－＋…＋－）＝（1＋－－）＝－.3．解：（1）由已知得故2（Sn－Sn－1）＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1（n≥2）．故数列{an}为等比数列，

4、且q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n（n∈N＋）．（2）证明：bn＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1－）＋（－）＋…＋（－）＝1－<1.4．解:（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有用心爱心专心，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。5．（I）证明：由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列。（II）解：由题设可得所以.由，得，从而.所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，，以下分两种情况进行讨论：用心爱心专心（1）当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则.所以

5、，从而（2）当n为奇数时，设。所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有用心爱心专心