2010-2011学年高一数学“每周一练”系列试题（20）.doc

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1、高一数学“每周一练”系列试题（20）1．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝ax－2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．2．已知函数f（x）＝3x，f（a＋2）＝18，g（x）＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．（1）求a的值；（2）若函数g（x）在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．3．已知函数f（x）＝x2＋（a2－1）x＋a－

2、2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．用心爱心专心4．判断方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．5．某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间（将第x天记为x）x1101118单位（元/件）P9018而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数．（2）在

3、这20天中哪一天销售收入最高？为此每天销售价P定为多少元为好？（结果精确到1元）用心爱心专心参考答案1．解析：依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2，所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.答案：42．解：法一：（1）由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.（2）此时g（x）＝λ·2x－4x，设0≤x10恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2

4、x2＋2x1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.法二：（1）由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.（2）此时g（x）＝λ·2x－4x，因为g（x）在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′（x）＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·（2x）2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.3．解：法一：设方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的两根分别为x1、x2（x1

5、0，∴x1·x2－（x1＋x2）＋1<0，由根与系数的关系得a－2＋（a2－1）＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－20，∴f（x）＝4x3＋x－15在[1,2]内存在一个零点，∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内

6、有一个实数解5．解：（1）P＝x∈N＋，Q＝，x∈[1,20]，x∈N＋，∴y＝100QP＝100，x∈[1,20]，x∈N＋.（2）∵（x－10）2[100－（x－10）2]≤[]2＝2500，∴当且仅当（x－10）2＝100－（x－10）2，即x＝10±5时，y有最大值．∵x∈N＋，∴取x＝3或17时，ymax＝700≈4999（元），此时，P＝7（元）．答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好．用心爱心专心