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《2.9-2.12-2.13 可约表示的约化 对称化基函数法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§9可约表示的约化:对称化基函数法设G是N阶群(1)(α)(q)不等价不可约酉表示τ,L,τ,Lτ.维数sss,,,,LL.1αq每个表示算符的酉矩阵(α)[τα()],gg∈=G,1,2,3,L,q.ij注意：τψψαα(gg)[]()ααααmmmmααLL()=[]ψψτ()αα()[()]g∈G11ssααij1T是G在V上的可约酉表示，V的一组正交规一基φ,,Lφ,1n则T(g)[φLφ]=[φLφ][t(g)]g∈G.1n1nij由特征标理论求出T的约化式及表示空间的分解式:()αTm=+LLτ+αααVVV=⊕⊕⊕⊕LLL1mα2存在V的适当的正交规一基L;ψ(α1),
2、L,ψ(α1);L;ψ(αmα),L,ψ(αmα);L.1sα1sα在这组基之下，T的每个算符的矩阵是结构相同的准对角矩阵Tg()[LLLLLψψψψ(1)αα(1)()ααmmαα()]11ssαα=[]LLLLLψψψψ(1)αα(1)()ααmmαα()[tg()]（2.9-5）11sααsijred⎡⎤O⎢⎥()α⎢⎥τij()g⎢⎥[()]tgijred=∈⎢⎥O()gG⎢⎥()α⎢⎥τij()g⎢⎥⎢⎥⎣⎦O3出现了V的两组正交规一基，必有酉矩阵[u]使得ij[φLφ][u]=[Lψ(α1)Lψ(α1)Lψ(αmα)Lψ(αmα)L]（2.9-6）1nij1sα1sα注意
3、：酉矩阵使正交规一基变成正交规一基4问题：求出酉矩阵[u]，取定一组正交规一基ij[φLφ]，1n即可求出另一组适当的正交规一基[Lψ(α1)Lψ(α1)Lψ(αmα)Lψ(αmα)L]，1sα1sα实现V的完全分解，T的完全约化。概念：酉矩阵[u]：为约化矩阵ij[Lψ(α1)Lψ(α1)Lψ(αmα)Lψ(αmα)L]：这组适当的正交规一化基为对1sα1sα称化基。5对称化基函数法：选取V的一组正交规一基，寻求约化矩阵将其化成对称化基，在它之下T完全约化，同时V完全分解。约化矩阵满足的条件：(2.9-6)代入(2.9-5)式，得T(g)[φLφ][u]=[φLφ][u][t(g)
4、]1nij1nijijred即[φLLφφ][()][tgu][=φ][utg][()]11nijijnijijred故[()][tgu][=utg][()]，gG∈ijijijijred6⎡⎤O⎢⎥()α⎢⎥τij()g⎢⎥[()][][]tgu=∈u⎢⎥O,gGijijij⎢⎥()α⎢⎥τij()g⎢⎥⎢⎥⎣⎦O上式对每一个gG∈都成立，是一组矩阵方程,7⎡⎤O⎢⎥⎡⎤()α⎢⎥⎣⎦τij()g⎢⎥[()]tg和Oij⎢⎥⎢⎥⎡⎤τ()α()g⎢⎥⎣⎦ij⎢⎥⎣⎦O都已知，后者称为约化形矩阵。因[]u是酉矩阵，故ijn∑uuikjk==δij,,1,2,,()ijLn。k=1求出
5、约化矩阵[],u然后求对称化基。ij8步骤：（1）选取V的正交规一基。（2）求出可约酉表示T的算符矩阵和特征标函数。（3）算出T的约化式，利用不可约表示算符在对称化基下的约化形矩阵，写出约化矩阵[u]满足的矩阵方程组。ij（4）求约化矩阵[u]。ij（5）求对称化基，完成V的完全分解。9例：用对称化基函数法将D在3{22}F=f(r)=ax+by+c⋅2xya,b,c∈R3上的诱导算符群给出的表示T约化。解：1)在F上规定内积3(f,g)=∫∫f⋅gdxdy22x+y≤122基函数x,y,2xy不是正交规一基。由Schmidt正交规一化方法，10222设f=ax由()ff,1=得a=
6、11111π2213f=+axby由()ff,1=，(ff,0)=得ab==,−222222122ππ22f=++axbyc⋅2xy由(ff,1)=，(ff,0)=，(ff,0)=，33333331326得ab==0，c=333π求得F的一个正交规一基：32222126f12==xfx()−=32yfx3⋅yπππ112）T的诱导算符在f，，ff下的矩阵123222基函数(x,3,xyx−2y)2算符Te()Tc()3Tc()3⎡⎤111⎡111⎤⎢⎥−⎢−−⎥222222⎡⎤100⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥11⎢11⎥矩阵010⎢⎥−0⎢−−0⎥⎢⎥2222⎢⎥⎣⎦001⎢⎥⎢⎥⎢⎥111⎢
7、111⎥−−−−⎢⎥⎣⎦222⎢⎣222⎥⎦12算符Tc()2′Tc()2′′Tc()2′′′⎡⎤111⎡111⎤⎢⎥−⎢−−⎥222222⎡⎤100⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥11⎢11⎥矩阵010⎢⎥−0⎢−−0⎥⎢⎥2222⎢⎥⎣⎦001−⎢⎥⎢⎥⎢⎥111⎢111⎥−−⎢⎥⎣⎦222⎢⎣222⎥⎦为[()]tgij[()][tgu][=utg][()]，g∈Gijijijijred13特征标函数χ=(300111)(13)()由D的特征标表得T的约化式：T=+
