用推广的李群约化法求解非线性薛定谔方程

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1、万方数据第54卷第3期2005年3月1000-3290／2005／54(03)／0996--06物理学报ACTAPHYSICASINIICAV01．54，No．3，March，2005⑥2005Chin．Phys．Soc．用推广的李群约化法求解非线性薛定谔方程*阮航宇+李慧军(宁波大学物理系，宁波315211)(2004年4月2913收到；2004年6月2513收到修改稿)用推广的经典李群约化法，得到了色散系数、非线性系数、补偿(或损失)系数为时、空变量函数时的非线性薛定谔方程的精确解．深入研究了非线性薛定谔

2、模型的一般孤波解与线性调频孤波解在光纤通讯与光纤放大器中的潜在应用．关键词：李群约化，非线性薛定谔方程，光纤通讯PACC：0230，03401．引言在过去的40年里，由于光孤子在长距离传播中的潜在应用价值，人们对它进行了广泛的理论与实验研究．在高强度激光发明后，以前一些光纤材料方面的光孤子理论(如Kerr效应等)被Mollenauer等人从实验上得到了证实．并且他们还发现，当随光强作非线性变化的折射率与依赖频率的色散相互补偿时，脉冲在形状上不会改变，亦即在反常色散控制的体系中，平衡非线性效应与群速色散后的光孤

3、子能在光纤中传播．从这时起，人们就开始用非线性薛定谔方程从基础方面和潜在的应用方面对光纤中孤子的传播进行理论研究．实际中光纤的特征参数不是常数，而是依赖位置的变量．换言之，这些参数依赖于空间坐标．例如，在实际光纤中传播的脉冲可用下面的非线性薛定谔方程描述：i≯：+卢(彳)妒。+y(彳)l≯l2妒+ig(z)≯=0，(1)式中卢，y和g都是传播距离彳的函数．这个方程描述了单模光纤中脉冲非线性传播的增强(当g(z)<0)或减弱(当g(z)>0)，曲(石，t)是电场的复包络面，t是时间，口(z)是群速色散参数，y(

4、z)是非线性参数，g(彳)是分布的补偿或耗散函数．方程(1)的一些性质已在文献[1—14]中进行了研究．在文献[15，16]中，分别用推广的对称群与自相似方法对方程(1)进行了研究．文献[15]从研究i5f

5、：+驴。+形(z，t，l≯1)妒=0(2)的李群结构出发，得到了色散缓变光纤中非线性薛定谔方程的精确解．在文献[15]的工作中，形被看作与函具有同等地位的因变量．本文用推广的经典李群约化法找到了方程(1)的一些特殊情况的解，其中的一些解描述了物理上有重要应用价值的光纤放大器中脉冲的放大或压缩．本文得到的结

6、果有两方面意义：一，用这个系统的方法可直接从一个变系数方程(常系数方程可作为一个特例)的解获得另一个变系数方程的解，并且将文献[15]的方法推广后，很容易得到同时含有三个变系数的非线性薛定谔方程的解，这样就能讨论一些与实际相符合的模型；二，更重要的是，这些模型和相应的解在设计光纤放大器、光脉冲压缩器和以孤波为基础的通讯链路中的潜在的应用价值．2．推广的经典李群约化法通过变形，可将广义的非线性薛定谔方程(1)改写为扩(z，t，驴，妒+)妒：+g(z，t，妒，妒+)妒。+W(彳，t，l妒I)妒=0，(3)式中，(

7、z，t，驴，驴+)，g(z，t，妒，妒+)，W(z，t，I驴I)是与函有着同等地位的三个因变量．很容易看出，三个变系数中至少有一个可以消去．为了稍后的叙述方便，暂且先用这种形式来讨论．下面就以方程(3)为例，来介绍推广的经典李群约化法．它的一次。西南石油学院油气藏地质及开发工程国家重点实验室开放基金(批准号：PLN0402)资助的课题’通讯联系人．E-mail：Hyruan@mail．nbip．net万方数据3期阮航宇等：用推广的李群约化法求解非线性薛定谔方程997延拓对称算符与变换群记作n71U=∈(z，t

8、，妒，妒+)a：+r(z，t，驴，驴。)a；+叩(z，t，驴，≯。)ap+叩‘(z，t，≯，≯+)a≯*+lD(彳，t，驴，≯‘，f)a’+盯(z，t，妒，妒+，g)a。+cu(。，t，驴，妒+，f，g，形)aⅣ，(4)z1=z+f车(z，t，驴，妒+)，tl=t+(r(z，t，妒，妒+)，≯，=妒+f节(名，t，妒，妒’)，驴j=驴。+f叩+(=，t，妒，妒。)，fl=f+叩(z，t，5f

9、，驴’，f)，gl=g+∈仃(z，t，妒，妒+，g)，形l=形+㈨(z，t，驴，≯”，f，g，形)，式中￡，r，叩，叩

10、。，ID，盯与叫分别是z，t，妒，妒+，f，g与形的无穷小．利用方程(3)在算符(4)式及其延拓结构作用下的不变性，可得i10妒：+矿[仇]+盯驴。+g[叩。。]+叫妒+彤叩=0，(5)式中[玑]，[叩；。]是妒：和妒。；在推广的对称变换下的无穷小形式，它们的形式如下：[叩：]=(叩一e≯：一r≯。)：+亭驴荔+r驴矗，[7。]=(7一S≯：一r驴。)。+e妒。。+r妒。。．(6)将(6)和(3)式