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《变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第53卷第11期2004年11月物理学报Vol.53,No.11,November,2004100023290P2004P53(11)P3652205ACTAPHYSICASINICAn2004Chin.Phys.Soc.3变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索1)1)2)1)2)张解放徐昌智何宝钢1)(浙江师范大学非线性物理研究所,金华321004)2)(金华教育学院物理系,金华321000)(2003年7月24日收到;2004年1月2日收到修改稿)把变量分离法应用于(1+1)维非线性物理模型,构建了色散缓变光纤变系数非线性薛定
2、谔方程的一类新的孤子解.作为特例,也得到了常系数非线性薛定谔方程的包络型孤子解,只是解的形式有点变化.关键词:变量分离法,变系数,薛定谔方程,孤子解PACC:0340,0230某些精确解.本文旨在把变量分离法应用于(1+1)11引言维变系数非线性物理系统,作一些有益的探索.变系数非线性薛定谔方程在众多物理领域,如物理系统的数学建模常常导致非线性演化方等离子体物理、流体动力学、非线性光学、固体物理,程,其中非线性薛定谔方程尤其是纤维光学中有着极其重要的地位,在实际光12纤通讯中传播信息的孤子一般变系数非线性薛定谔iφz+φtt+
3、φ
4、φ=
5、0(1)2方程为就是一个在物理学特别在光学、流体力学中相当重12iφz+β(z)φtt+α(z)
6、φ
7、φ=iγ(z)φ,(2)要和基本的非线性范例,由它本身及对它的修正形2式在物理学许多领域具有重要应用价值.不过由于其中β(z)α,(z)γ,(z)分别为纵向距离缓变的二阶色方程(1)是高度理想化的,如果考虑更实际的条件,散、非线性系数和光纤的损耗因子,φ(z,t)为待求就得到其他具有变系数的非线性演化方程.而要得函数.本文用变量分离法对方程(2)进行了研究,到实际非线性方程的精确解非常困难,虽然有不少在此基础上构建了二类色散缓变光纤变系
8、数非线性求解非线性偏微分方程的方法,但对于变系数非线薛定谔方程的精确解.性偏微分方程,目前的研究手段主要在数值求解或[1,2]21变系数非线性薛定谔方程的孤子解近似微扰求解.许多学者对变系数非线性偏微分[3—7]方程也进行了深入研究,并提出多种方法.在线为了方便方程(1)的求解,先作如下变换:性物理中,变量分离法和Fourier级数展开法是两个1重要方法.逆散射方法被认为是非线性物理中的x=β(z)dz,t=t,(3)2∫Fourier级数展开法的推广,但直到最近,变量分离法则方程(2)变为才在非线性物理中得到拓展,得到了一大类(2+1
9、)2iφx+φu+V(x)
10、φ
11、φ=iV1(x)φ,(4)维非线性演化方程的通解,给出了丰富的局域相干其中[8—16]结构和相互作用性质.不过变量分离法对(1+2α(z(x))2γ(z(x))V(x)=,V1(x)=.1)维非线性物理模型的推广,仍存在一定的困难.β(z(x))β(z(x))[17]Zhadnov把(1+1)维非线性偏微分方程分离为平因此可从方程(4)出发进行讨论,而方程(2)的解,[18]凡的微分方程.Qu等人用对称约化分离变量法经反变换就可得到.获得(1+1)维非线性扩散方程和其他一类方程的为了利用变量分离法,现做如
12、下B¾cklund变换:3国家自然科学基金(批准号:10272072)及浙江省自然科学基金(批准号:100039)资助的课题.11期张解放等:变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索36532gp3p3tt-p3t=0.(18)φ=+φ0,(5)f从(18)式可得其中g(x,t),f(x,t)分别为复函数和实函数,p3=exp[p0(x)(a1t+l1)],(19)φ0(x,t)为方程(4)的一个任意的已知解.在(5)式其中p0(x)为关于x的任意函数,a1,l1为任意常的变换下方程(4)可写为双线性形式数,则由(13)式可得2-1
13、32(iDx+Dt)gf+gf[V(x)gg-Dtff]22222a1p0p1p2p3+V(x)[2φ32φ3(gφφ33φ2)f]g1g2=,(20)0gg+g0+00+g0V(x)-iV1(x)gf=0,(6)引入一个任意常数λ0,则从(20)式可分离出符号D为Hirota意义下的双线性算符22mnmn2a1λ0p0p1p2-13DxDtgf≡(9x-9x′)(9t-9t′)gf
14、(x=x′,t=t′).g1=δ1V(x),g2=δ2λ0p,(7)(21)为了方便讨论,把种子解φ0设为22其中δ1=δ2=1.把(21)式代入(14)
15、—(17)式,则φ0=0,(8)可得经过深入运算,发现系统(6)拥有如下变量分离解:12222-q1x+a1p0-q2xq3-q2q3x-q2q3t=0,(22)f=p1(x)+p2(x)p3(x,t),(
