分离变量法在变系数（2＋1）维方程求解中的应用-论文.pdf

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1、第44卷第16期数学的实践与认识V01．44．No．162014年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYAug．，2014分离变量法在变系数(2+1)维方程求解中的应用孟祥花，许瑞麟，许晓革(北京信息科技大学理学院，北京100192)摘要：分离变量法是求解具有局域相干结构解的有效解析方法．考虑到传播介质的非均匀性和边界的不一致性，变系数(2+1)色散长波方程可以实际地描述宽广的河道或有限深的远海中非线性波的传播．解析研究了变系数(2+1)维色散长波方程．通过分离变量法，得到了该方程组的具有丰富结构的分离变量解．．关键词：变系数(2+1

2、)色散长波方程；分离变量法；分离变量解1引言．非线性发展方程可以用来描述物理、化学和生物学等不同领域中的各类非线性现象和动力学过程．作为这些非线性现象的控制方程，非线性发展方程的精确解可帮助我们更好地理解相关的物理机制．随着孤子理论的发展，大量有意义并且有效的方法被提出来研究非线性发展方程，如反散射方法[1-2]，B／icklund变换法[a-4]，Darboux变换法[5-6】，双线性方法(见文[7—10])，齐次平衡法[11]，Painlev6展开法[12-1a】等等．分离变量法被拓展应用于非线性偏微分方程中后，若干非线性分离变量法被逐渐提出来[16-2o

3、]，如形式分离变量法，泛函分离变量法和多线性分离变量法等．(2+1)维色散长波方程被提出来描述宽广的河道和有限深远海中的非线性波传播．当考虑到边界的不一致性和传播介质的不均匀性时，变系数方程比其对应的常系数方程可以更加实际地模拟非线性波的传播．在本文中，我们将考虑如下形式的变系数(2+1)维色散长波方程1+()+()()=0(1)仇+9(t)(u叩+u)+(t)u=0(2)其中()和9(t)均为t的光滑函数．当()=9(t)=1时，方程组(1)和(2)就退化为常系数(2+1)维色散长波方程[21-2a]．在本文中，我们将利用分离变量法来求解方程组(1)和(2)

4、的分离变量解．2方程组(1)和(2)的多线性形式利用截断Painlev~展开式，我们做如下变换收稿日期：2014—05—18资助项目：国家自然科学基金(61072145)；北京市优秀人才项目(2013D005007000003)；北京市教委科技计划面上项目(SQKM201211232016)通信作者!孟祥花，等：分离变量法在变系数(2+1)维方程求解中的应用283一士见(1n+，r，o(3)中)(2)的一组解，a=(：(取种子解为，)入系数(2。：。(㈦，+1)维色散长波方程组(1)和(2)中(是任意的非零常数)，在约集：下，可以得到如下的三线性方程一一～“。

5、、。[t+(。z厶+u。)土]_，+2／j~(A+乱。土)一[(厶+23uof~z§jz七uojzj。H+Ijzt+u。jz士Qf1fH十fzft士ffzIf：：Q41将．三线性方程(4)关于z积分一次可得到双线性方程，。士，z一(，f+，“。士Q)其中A～三_厂。=0(5)甘，、=At1为积分凿斯3方程组(1)和(2)的分离变量解3·1基奎于双线性方程的分离变量解竺)构造得到方程组(1)和(一2)一～不同形式的分离同变又量盥解肼假设，。。+0p+口2q+a3Pq(6)=O’2)3)是关于的函数和g分别是关于()得到，t和。一，的～函一数一．将式(6)川代V入

6、式5(ao~3一。1n2)Ivt+札。士+(n1。3一口lt。3)p。+(。3t—n。t。3+。1。2t～。1tn2)p将上式中与g无关的项设为(口。。。一日)(c。+cpcp，：Ⅱ(7)式被分解为。一2十z士z]+(3t一。l煳)p。+(。。n3t一。。煳+。)+(。。-aota2)(。。3一。12)。(c。+e1p+c：p)(8)。一2。A-(a2-f-a3p)，qyt一f2A=。(9)甘蔫的幂由次合并，=ao咖形代入(；式中，并按照p，取p的各幂次系数为0可得、～“～rpp。：一。~qt+a3(a]+a3q)～(n1+。3口)A+c2aoa3-ala2)

7、。：0(10)2，p。2。3吼+n。+)+2(。1+。3g)]一(n。+n2q)(。1+。3g)一A(ty+cl(aoa3～ala2)：0f111一(ao+a2q)～(ao+a2q)。(aoa3-a]a2012；将gt，和A看作是3个未知数，求解方程组，可得吼(n1+。3g)。c0一(。。+21+％g)c1+(。。+a2q)。c2fl3]284数学的实践与认识44卷qyt——：2a3a1+a3q)co一[a3a0+a2q)+a2(al+a3q)]~l+2a2(ao+a2q)c2(14)兰：=a23co一a2a3cl+0c，2(L15。)，将式(14)中的％移到

8、等式右边并关于Y求积分，并取积分常数为