bācklund变换在复系数2＋1维kd方程应用

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1、第34卷第4期渤海大学学报(自然科学版)Vo1．34．No．42013年12月JournalofBohaiUniversity(NaturalScienceEdition)DeC．20l3Backlund变换在复系数2+1维KD方程应用刘东，张盛(渤海大学数理学院，辽宁锦州121013)摘要：利用对数变换，将复系数2+1维KD方程转化双线性方程组，进而获得该方程组的单孤波解、双孤波解以及N一孤波解，通过已获得双线性方程组进一步得到相应的双线性Backlund变换，利用该变换，给出一组新的孤波解．关键词：2+1维KD方程；双线性Backlund变换；孤波解中图分类号：028文献标志

2、码：A文章编号：1673—0569(2013)03—0352—060引言近年来，孤立子作为非线性科学重要分支之一，其应用研究领域十分广泛．物理学中爱因斯坦相对论和黑洞的数学表示⋯，分子生物学蛋白质分子中的能量传输表达，在JosephsonB．D．工作基础上的超导设计等诸多领域都涉及到孤立子．值得一提的是，有望成为超长距离和超高速率的光纤孤子通讯是孤立子成功应用的典范之一，它引起世界各工业国家对其研究重视，而且很多国家相继提出了发展计划，达到共同构建全光的孤子通讯网络目标]．在具体研究工作中，上述诸多领域的模型可以约化成孤波方程，而求该类型方程孤波解，引起数学家和物理学家极大的兴趣

3、．本文重点研究了在流体力学和海洋动力学系统采用的一个模型Konopelchenko—Dubrovsky(KD)方程¨，通过对数变换并且结合符号计算，将该方程转化为双线性的形式，进而求出N一孤波解，进一步获得双线性Backlund变换(简记BT)，通过一个平凡解找到BT下的一组新的孤波解，这对我们进一步研究该模型物理性质提供一定的参考．1双线性方法N一孤波解将双线性Biicklund变换应用到高维的非线性演化方程是非线性研究的主流]，典型的例子就是应用在流体力学中，这里考虑(2+1)维Konopelchenko—Dubrovsky(KD)方程ut一6buu+亏nu一3y+3au0⋯

4、=v其中o、b是任意复系数．首先选取导数算子DmD，定义如下¨叫DmD,"f(x,t)g(=(丢一)(去一)x,t)g(。(2)并且结合平衡法得知该方程通过Painlev~测试¨¨．收稿日期：2013一O1—17．基金项目：辽宁省自然科学基金(No：2012404)．作者简介：刘东(1985一)，男，渤海大学硕士研究生，主要从事孤子与可积系统方面研究通讯作者：liudong_s@126．corn．第4期刘东，张盛：B／tcklund变换在复系数2+1维KD方程应用353取对数变换[1og((3)2√【log(篇这里f(，y，t)是函数，)，，t)的共轭函数，i虚数单位．将式(3)

5、代入原方程，方程(1)化为双线性形式方程组f(JD一D6口bD，+3DDx,y,t)f，y=0(4)l(．2口bD一D+D，t(=0通常假设f(x，Y，￡)=1+f6+s+is+⋯+厂+⋯(5)从方程组中，可以假设单孤波解具有如下的形式f(x，，)=1+el=1+eklx+tIy+mlt+10+tT(6)将上式带入方程组(4)中，运用如下关系式DmD~e“·e“=(kl—k2)(1一W2)e(kl“‘”2’(7)可以得到如下关系式f126·m。=k~+12b2。o1C1sec+球+12出一-4ibkI2bk础+、．。0。“n接下来，假设双孤波解具有如下的形式．首先令f(x，Y，f

6、)=1+e亍+e,／2+i詈+1+v／2+i~-(9)2bk1=+，，叫+12l+cl。2bk3'7。=++12+c2n其中k。，k实系数，c，c：实常数，m是待定的系数．将式(9)代人双线性的方程组(4)，我们可以得到m一：(1川0)，所以满足限定条件m和，)，，t)的式(3)就是双孤波解．依照类比推理的方法，可以获得N一孤波解，Y，)=∑exp(∑(+i詈)+∑)(11)0，lf=1i

7、3)就是N一孤波解．2双线性Backlund变换该部分，寻找与双线性方程组相对应双线性B~icklund变换．我们悉知BT联系非线性偏微分方程的两个解，如果知道其中一个，通过寻找到的变换，可以得到另外一个解．因此，下面重点介绍一下．首先，假设h(x，y，)和(，Y，￡)是方程组(4)一组新解．由双线性方程组(4)，可以得到以下等式[D一036b口D，+3D)一[D一D一6nbD+3DD。厂=0(12)[(一2口bD一D+Dy)hh一[(一2b。D一D+Dhh=0(13)接着利用符