基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用-论文.pdf

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1、习性·瓣·争

2、IlSc科ience&技Tech视nologyIViFsion-基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用向修栋杨树林2(中国石油大学(华东)理学院。山东东营257062；惑崎2中国石油大学(华东>胜利学院。山东东营257097)【摘要】分离变量法是求解偏微分方程的一种重要方法，按照变量分离求解方法和步骤，通过实例探讨了各类形式应用变量分离求解过咖一旦程，可加深全面认识与理解分离变量法。【关键词】变量分离；叠加原理；特征函数；Duhamel定理0引言(iii)由叠加原理得(II)通解：。

3、二客观世界事物之间存在相互制约关系．而这种制约关系因包含很多+监)I：的变量，通常用偏微分方程来描述客观世界的复杂性及其关系的多样性，n0=0二‘致使这些偏微分方程形式也各不相同．故其求解相当复杂。对于有界区域上的线陛偏微分方程，分离变量法就是一种最有效最重要求解方法。(iv)利用初始条件求定解：·．-【1】I=2-Ul-∑cos毒坦I^=0m这种方法的基本思想就是把求解偏微分方程的混合问题．经过分离变量，转化为求解常微分方程的初值问题。使原问题得到简化，使之容易求2Ii,~x2s㈠，解。实施变量

4、分离方法最关键条件就是：(1)混合问题是线性的；(2)泛定·方程和边界条件是齐次的[1-3]。对于其它形式可先转化再利用变量分离方．．方程(II)的定解：法。本文将以一实例通过运用叠加原理、特征函数法、Duhamel原理法+)If41、函数变换法求解。这些方法联合应用涵盖了求解偏微分方程引用变：一0f2n+l1量分离法的多种形式．加深理解和应用这些方法进而拓展应用到求解其∞a‘6一b它类型的线性偏微分方程混合问题。变量分离法还是核证偏微分方程数值解的有效工具．特别是在物理学和工程技术中这种实例异常

5、繁多．因(2)用特征函数法求解(uI)I_0，，而变量分离法有重要的理论价值和重要的实践意义酮【=o··1实例．其对应齐次方程齐次边界条件特征函数系{cosA,x}，，l=O，12”，22Ut=Ⅱ一6u，OO将主o。。，一2：，。。s警，砉。。幽{；“’”>o其中6，是常数，代人(Ⅱl】得：fD)+【a‘Ab‘lb．一6【D(o】=OUI=了，o≤≤zI￡则妻(+鲍墨解1：将定解问题的边界条件齐次化，令f)=一得定解问题转化为：222．=。一b口一bl，OO．—一(en

6、。(2n+l[4b弭(2n+1)仃a】(I)。0oO≤≤f(3)尽管定解问题(ⅡI)是泛定方程非齐次，但定解条件皆为齐次定解问题(I)是线性非齐次方程、齐次边界条件．由叠加原理得的．故有：⋯触fII)){釜』为定解问题㈣2(2其中t)q￡)f)：。)2-的解。由于定解问题(II)是齐次方程齐次边界问题，故可直接利用变量【=O分离法求解，而定解问题(III)是非齐次方程齐次边界问题．可用本征函证：(1)满足定解条件：当￡=o时，‘数法，又由于(III滁泛定方程外其定解条件均为齐次的。故定解问题，c)

7、I庐f。tm0，"c)dr-'O，(III)可由Duhamel齐次化原理方法求解。(1)对(II)进行变量分离法求解偏微分方程主要有四步：脚=j，。‘∞0，7，d==J。I(dr：0(i)分量变量：令(∽了1(代人(ID的方程和边界条件得，(2)满足泛定方程：由含参变量积分的微分公式得，=锗(0)一㈣=。f打+mt，r)I一62￡I。一6证毕。即得r(b2+a~A．)T=O本征值问题：(自(1过程得一：+盟(ii)求X)，(f)：解本征值问题得^軎L订)()=C08坦cosn=0，1，2，3⋯，+

8、盥)l-．，：：cos』。由，+(6z+O解得to(t)=C．e182l科技视界Science＆TechnologyVisionj1Science&TechnologyVision科技视界科技·探索·争l乌+垦g)(1妣主一—!)：笙丁一(e+监害)l：一1)。：器s-(b+学)l+n。(2n+lr[4b21+(2n+1)al卷器+皿咖·．．根据(I)、(2)或(3)知，原定解问题的解为：(3)若令)￡)r兰L丽_(e6+e6。)，(变为：㈣∞㈥：。+e。e62f：=口勘一6v,0O

9、，1一+主厶一(：irj(e_1)c0=O：=0>O2l0n+1)'n'[4b2／2+(2n+1)1。n=由解法1知道，通过)=“，t)一“。函数变换将定解问题边界条件齐次化。能过用变量分离法求解，而泛定方程在变换的同时增加了II)过程：n=0iz,tt-t-jJ“非齐次项一6，所以求解过程又增加繁琐性。又因为定解问题的泛定方程自由项和边界条件中都与t无关，所以可通过适当选取)使函数变换t)=u，￡)—∞)将泛定方程和边界同时齐次化。+)l．解2：令u￡)=tJ，￡)+(e一)则)