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时间:2020-04-18
《基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用-论文.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习性·瓣·争
2、IlSc科ience&技Tech视nologyIViFsion-基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用向修栋杨树林2(中国石油大学(华东)理学院。山东东营257062;惑崎2中国石油大学(华东>胜利学院。山东东营257097)【摘要】分离变量法是求解偏微分方程的一种重要方法,按照变量分离求解方法和步骤,通过实例探讨了各类形式应用变量分离求解过咖一旦程,可加深全面认识与理解分离变量法。【关键词】变量分离;叠加原理;特征函数;Duhamel定理0引言(iii)由叠加原理得(II)通解:。
3、二客观世界事物之间存在相互制约关系.而这种制约关系因包含很多+监)I:的变量,通常用偏微分方程来描述客观世界的复杂性及其关系的多样性,n0=0二‘致使这些偏微分方程形式也各不相同.故其求解相当复杂。对于有界区域上的线陛偏微分方程,分离变量法就是一种最有效最重要求解方法。(iv)利用初始条件求定解:·.-【1】I=2-Ul-∑cos毒坦I^=0m这种方法的基本思想就是把求解偏微分方程的混合问题.经过分离变量,转化为求解常微分方程的初值问题。使原问题得到简化,使之容易求2Ii,~x2s㈠,解。实施变量
4、分离方法最关键条件就是:(1)混合问题是线性的;(2)泛定·方程和边界条件是齐次的[1-3]。对于其它形式可先转化再利用变量分离方..方程(II)的定解:法。本文将以一实例通过运用叠加原理、特征函数法、Duhamel原理法+)If41、函数变换法求解。这些方法联合应用涵盖了求解偏微分方程引用变:一0f2n+l1量分离法的多种形式.加深理解和应用这些方法进而拓展应用到求解其∞a‘6一b它类型的线性偏微分方程混合问题。变量分离法还是核证偏微分方程数值解的有效工具.特别是在物理学和工程技术中这种实例异常
5、繁多.因(2)用特征函数法求解(uI)I_0,,而变量分离法有重要的理论价值和重要的实践意义酮【=o··1实例.其对应齐次方程齐次边界条件特征函数系{cosA,x},,l=O,12”,22Ut=Ⅱ一6u,OO将主o。。,一2:,。。s警,砉。。幽{;“’”>o其中6,是常数,代人(Ⅱl】得:fD)+【a‘Ab‘lb.一6【D(o】=OUI=了,o≤≤zI£则妻(+鲍墨解1:将定解问题的边界条件齐次化,令f)=一得定解问题转化为:222.=。一b口一bl,OO.—一(en
6、。(2n+l[4b弭(2n+1)仃a】(I)。0oO≤≤f(3)尽管定解问题(ⅡI)是泛定方程非齐次,但定解条件皆为齐次定解问题(I)是线性非齐次方程、齐次边界条件.由叠加原理得的.故有:⋯触fII)){釜』为定解问题㈣2(2其中t)q£)f):。)2-的解。由于定解问题(II)是齐次方程齐次边界问题,故可直接利用变量【=O分离法求解,而定解问题(III)是非齐次方程齐次边界问题.可用本征函证:(1)满足定解条件:当£=o时,‘数法,又由于(III滁泛定方程外其定解条件均为齐次的。故定解问题,c)
7、I庐f。tm0,"c)dr-'O,(III)可由Duhamel齐次化原理方法求解。(1)对(II)进行变量分离法求解偏微分方程主要有四步:脚=j,。‘∞0,7,d==J。I(dr:0(i)分量变量:令(∽了1(代人(ID的方程和边界条件得,(2)满足泛定方程:由含参变量积分的微分公式得,=锗(0)一㈣=。f打+mt,r)I一62£I。一6证毕。即得r(b2+a~A.)T=O本征值问题:(自(1过程得一:+盟(ii)求X),(f):解本征值问题得^軎L订)()=C08坦cosn=0,1,2,3⋯,+
8、盥)l-.,::cos』。由,+(6z+O解得to(t)=C.e182l科技视界Science&TechnologyVisionj1Science&TechnologyVision科技视界科技·探索·争l乌+垦g)(1妣主一—!):笙丁一(e+监害)l:一1)。:器s-(b+学)l+n。(2n+lr[4b21+(2n+1)al卷器+皿咖·..根据(I)、(2)或(3)知,原定解问题的解为:(3)若令)£)r兰L丽_(e6+e6。),(变为:㈣∞㈥:。+e。e62f:=口勘一6v,0O
9、,1一+主厶一(:irj(e_1)c0=O:=0>O2l0n+1)'n'[4b2/2+(2n+1)1。n=由解法1知道,通过)=“,t)一“。函数变换将定解问题边界条件齐次化。能过用变量分离法求解,而泛定方程在变换的同时增加了II)过程:n=0iz,tt-t-jJ“非齐次项一6,所以求解过程又增加繁琐性。又因为定解问题的泛定方程自由项和边界条件中都与t无关,所以可通过适当选取)使函数变换t)=u,£)—∞)将泛定方程和边界同时齐次化。+)l.解2:令u£)=tJ,£)+(e一)则)
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