基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用

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1、基于求解偏微分方程变量分离方法多种应用【摘要】分离变量法是求解偏微分方程的一种重要方法，按照变量分离求解方法和步骤，通过实例探讨了各类形式应用变量分离求解过程，可加深全面认识与理解分离变量法。【关键词】变量分离;叠加原理;特征函数;Duhamel定理0引言客观世界事物之间存在相互制约关系，而这种制约关系因包含很多的变量，通常用偏微分方程来描述，客观世界的复杂性及其关系的多样性，致使这些偏微分方程形式也各不相同，故其求解相当复杂。对于有界区域上的线性偏微分方程，分离变量法就是一种最有效最重要求解方法。这种方法的基本思想就是把求解偏微分方程的混合

2、问题，经过分离变量，转化为求解常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，8使之容易求解。实施变量分离方法最关键条件就是：（1）混合问题是线性的;（2）泛定方程和边界条件是齐次的[1-3]。对于其它形式可先转化再利用变量分离方法。本文将以一实例通过运用叠加原理、特征函数法、Duhamel原理法[4]、函数变换法求解。这些方法联合应用涵盖了求解偏微分方程引用变量分离法的多种形式，加深理解和应用这些方法进而拓展应用到求解其它类型的线性偏微分方程混合问题。变量分离法还是核证偏微分方程数值解的有效工具，特别是在物理学和工程技术中这种实例异常繁多，因而变量

3、分离法有重要的理论价值和重要的实践意义[5-7]。1实例u■=a■u■-b■u，00u■

4、■;u

5、■=u■，t>0u

6、■=■x■，0≤x≤l其中b，u1是常数，解1：将定解问题的边界条件齐次化，令v（x，t）=u（x，t）-u1得定解问题转化为：（I）v■=a■v■-b■v-b■u■，00v■

7、■=v■=0，t>0v■

8、■=■x■-u1，0≤x≤l∵定解问题（I）是线性非齐次方程、齐次边界条件，∴由叠加原理得：（II）v■（1）=a■v■（1）-b■v（1）v■（1）

9、■=v（1）

10、■=0，v■（1）

11、■=■x■-u1，（III）v■（2）=

12、a■v■（2）-b■v（2）-b■u■v■（2）

13、■=v（2）

14、■=0，v■（2）

15、■=0其中v（x，t）=v（1）（x，t）+v（2）（x，t）由于定解问题（II）是齐次方程齐次边界问题，故可直接利用变量分离法求解，而定解问题（III）是非齐次方程齐次边界问题，可用本征函数法，又由于8（III）除泛定方程外其定解条件均为齐次的，故定解问题（III）可由Duhamel齐次化原理方法求解。（1）对（II）进行变量分离法求解偏微分方程主要有四步：（i）分量变量：令v（1）（x，t）=X（x）T（t）代入（II）的方程和边界条件得，■=■■-λ，X

16、’（0）T（t）=0=X（l）T（t）=0即得T’+（b2+a2λn）T=0本征值问题：X’’+λX=0X’（0）=X（l）=0（ii）求Xn（x），Tn（t）：解本征值问题得λn=（■π■），Xn（x）=cos■x，n=0，1，2，3…由T’+（b2+a2λn）T=0解得Tn（t）=Cne■（iii）由叠加原理得（II）通解：v（1）（x，t）=■X■（x）T■（t）=■Cne■cos■x（iv）利用初始条件求定解：∵v■（1）

17、■=■x■-u1=■Cncos■x其中：Cn=■■（■x■-u■）cos■xdx=（-1）■■∴方程（II）的定

18、解：v（1）（x，t）=■（-1）■■e■cos■x（2）用特征函数法求解（III）v■（2）=a■v■（2）-b■v（2）-b■u■v■（2）

19、■=v（2）

20、■=0，v■（2）

21、■=0，8∵其对应齐次方程齐次边界条件特征函数系cosλnx，n=0，1，2，…，将v■（x，t）■■D■（t）cosλ■x，-b■u■=■f■cosk■x■■■cosk■x代入（III）得：D’（t）+[a■λn2+b■]D■=-b■f■D■（0）=0则得v■（x，t）=■■（1-e■）cosk■x，∴v■（x，t）=■■（e■-1）cos■x（3）尽管定解问题（

22、III）是泛定方程非齐次，但定解条件皆为齐次的，故有：齐次化定理：若ω（x，t，τ）是（III）ω■（2）=a■ω■（2）-b■ωt>τω■（2）

23、■=ω■=0，t≥τω（x，τ，τ）=-b2u1的解，则v■（x，t）=■ω（x，t，τ）dτ为定解问题（III）v■（2）=a■v■（2）-b■v（2）-b■u■v■（2）

24、■=v（2）

25、■=0，v■（2）

26、■=0的解。证：（1）满足定解条件：当t=0时，v■（x，t）

27、t=0=■ω（x，0，τ）dτ=0，v■（2）

28、■=■ω（x，0，τ）dτ=0，v■（2）

29、■=■ω（l，t，τ）dτ=0（2

30、）满足泛定方程：由含参变量积分的微分公式得，■=■■dτ+ω■（x，t，τ）

31、τ=t=a2■-b2v（2）（x，t）-b2u1证毕。由（II）求解过程得的解：ω■（