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1、应用数学和力学,第21卷第2期(2000年2月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000-0887(2000)02-0154-07X具有单参数空间对称群的向量场及其约化1,23黄德斌, 赵晓华(11中国科学院力学研究所LNM,北京100080;21上海大学数学系,上海201800;31云南大学数学系,昆明650091)(李继彬推荐)摘要:对于保持某n-形式的n维向量场,应用Lie群的方法得到结论:当这类向量场有保持n-形式的空间单参数对称群时,可具体地构造出一个与该向
2、量场无关的变换,它不仅使向量场约化掉一维,并且使得约化向量场保持相应的(n-1)-形式· 特别,当n=3时,简单地得到了Mezie和Wiggins最近得到的重要结果· 关 键 词:向量场; 对称群;Lie群; 约化; 保持n-形式中图分类号:O15215;O175112文献标识码:A引 言Lie群方法从上个世纪末发展到今天,它在微分方程研究中的重要作用越来越受到众多物理学家和数学家的关注和重视,并在理论和实际应用研究中不断得以发展· Olver在文[1]中比较系统地介绍了Lie方法的基本内容和一些重要的应用· 至今Lie方法已经发展到微分
3、方程研究的各方面,例如方程的可积性,Sen和Tabor在文[2]中就是用Lie群的方法构造出了Lorenz系统的首次积分· 对于高维系统而言,利用Lie群的作用因而降低系统维数而尤显重要· 众所周知,具有单参数对称群的一个n维常微分方程组能约化成一个n-1维的方程组,并且原方程组的解可以通过约化方程的解积分求得· 进一步要问原来的n维系统与约化后的n-1维系统之间会有什么联系,特别地,如果原来的n维系统具有某种便于应用的性质,经过这种约化后,该性质是否被保留下来· 这是一个在理论和应用方面都具有重要意义的问题· 要回答此问题,关键是了解系统
4、具有什么样的对称群时,约化方程才不会使原系统的某些性质丧失· 过去,由于Hamilton系统在理论和应用方面的重要性,辛流形上的Hamilton系统的约化问题在微分动力系统研究领域曾经是一个十分活跃的研究课题· 其现代方法,即Lie[4]群方法首次在Smale的文章[3]中出现,后经过Meyer等人的努力,直到1973年Marsden和Weinstein在文[5]中才完美地给出了辛流形的约化程序,形成今天动力系统界所熟知的事实:一个n维Hamilton系统当其具有一个单参数Hamilton对称群时,可被约化成一个n-2维的X收稿日期:199
5、7-01-20;修订日期:1999-04-28基金项目:国家自然科学基金资助项目(19572057,19972058);云南省科委应用基础研究基金资助项目作者简介:黄德斌(1972～),男,博士.154©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.黄 德 斌 赵 晓 华155Hamilton系统(参见[1,6])· 最近Mezie和Wiggins在[7]中得出结论:一个三维保体积向量场,当其具有一个空间保体积单参数对称群时,可被约化成为一个单自由度的
6、Hamilton系统,从而使得这类三维系统的动力学研究大为简化· 上述工作有一个共同点,即都集中于保持2-形式的Hamilton系统的研究· 然而保持n-形式的n维系统(此处指散度为零),在物理学、大气动力学、生物学等领域也是广泛存在的,对它的约化问题进行研究也有重要意义· 因此本文在第二节中应用Lie群的方法证得如下重要结论:保持n-形式的n维微分系统,若具有保持该n-形式的空间单参数对称群,则该系统可被约化成为一个保持相应(n-1)-形式的n-1维系统· 特别地n=3时,可推得文[7]中的主要结果,而且我们运用本文的结论简化了过去某些结
7、果的证明· 另外我们知道经典Hamilton系统的散度为零,因此从某种意义上讲,本文的结果是对Hamilton系统辛约化(详见[5])的实质性的一个几何推广· 1 概念和预备定理为了后面叙述和引用方便,本节首先介绍一些相关的定义、记号和将要引用的基本结论· 本文中所用的符号与Olver[1]中的一样· 1n1定义111 设M为n维流形,其局部坐标为(x,⋯,x)· 考虑M上的n-形式Ω=dx∧n⋯∧dx· 则M上的任何向量场Y的散度可通过下式定义:LYΩ=(divY)Ω,其中L为Lie导数,见[1,2]· 注1 下面我们所讨论的n-形式均指
8、定为上述Ω· 有了上面的定义,我们可得到向量场Y产生的流保持n-形式Ω的等价条件· 下面以定义的形式给出· 定义112设n维流形M上定义了一个向量场F:idx1n1n=fi(x,
