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《第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (7)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七节方向导数与梯度习题8-71.求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数:π(1)z=+cos(xy),M0(0,),(3,4)l=−;2(2)u=xyz,M0(1,1,1),(1,1,1)l=.解(1)由方向l=−(3,4)可求出与l同向的单位向量为34el=(,)−,55因为函数可微分,且∂z∂zππ=−sin(xy+)=−1,ππ=−+sin(xy)=−1,∂x(0,)(0,)∂y(0,)(0,)2222故所求方向导数为∂z341π=(1)−⋅+−⋅−=(1)().∂l(0,)5552(2)函数u=xyz在平面上处处可微,则
2、∂∂uu∂u∂u=++cosαcosβγcos,∂∂lx∂y∂z∂∂∂uuu∂uuu∂∂因为===yz,,xzxy,所以在点(1,1,1)处有===1.∂∂∂xyz∂∂∂xyz由l=(1,1,1)得l=3,于是1cosαβγ===coscos,3故所求方向导数为∂u1113(1,1,1)=⋅111+⋅+⋅==3.∂l333322.求函数z=+ln(xy)在抛物线yx=4上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处与x轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数.2dy解先求切线斜率:在yx=4两边分别求导，得24y=,dx1d2ydy于是=,斜率k==
3、(1,2)1.dxydx22切线方向为l=(1,1),与l同向的单位向量为el=(,),又因为22∂z11∂z11(1,2)==(1,2),(1,2)=(1,2)=,∂+xxy3∂+yxy3所以∂z12122(1,2)=⋅+⋅=.∂l323233.设f(,)xy具有一阶连续的偏导数,已给四点A(1,3),B(3,3),C(1,7),D(6,15),ggghgggh若f(,)xy在点A处沿AB方向的方向导数等于3,而沿AC方向的方向导数等于26,gggh求f(,)xy在点A处沿AD方向的方向导数.ggghgggh解根据题意可求得方向AB=(
4、2,0),与AB同向的单位向量为egggh=(1,0),AB则有∂fxy(,)gggh(1,3)=fffxyx′′′(1,3)1⋅+(1,3)0⋅=(1,3)3=,∂ABggghgggh又因为方向AC=(0,4),与AC同向的单位向量为eggggh=(0,1),AC则有∂fxy(,)gggh(1,3)=⋅fffxyy′′′(1,3)0+⋅(1,3)1==(1,3)26,∂ACggghgggh而方向AD=(5,12),与AD同向的单位向量为512512eggggh==(,)(,),AD51222225121313++所以∂fxy(,)512
5、512327gggh(1,3)=⋅ffxy′′(1,3)+⋅(1,3)=⋅+⋅=326.∂AD13131313134.设z==fxy(,)3xy,证明函数f在原点O(0,0)连续,且fx(0,0)与fy(0,0)都存在，但f在原点沿着向量l=(,)ab方向的方向导数不存在(其中ab,为任意非零常数).证函数zfxyx==(,)3y在点(0,0)的邻域有定义,且2limzx==lim3yf0=(0,0),xx→→00yy→→00故函数f在原点O(0,0)处连续.又fx(,0Δ)(−−f0,0)00fx(0,0)==limlim=0,Δ→xx
6、00ΔΔxxΔ→同理fyf(0,Δ)−−(0,0)00fy(0,0)==limlim=0,Δ→yy00ΔΔyyΔ→所以fx(0,0)与fy(0,0)都存在.而函数f在原点O(0,0)沿方向l的方向导数为∂+ff(0Δx,0+Δy)−f(0,0)3ΔΔxy(0,0)==limlim,∂lρ→Δ00ρx→Δx22+ΔyΔ→y0让点(,)ΔΔxy沿直线Δ=Δyx趋于点(0,0),即Δyx=Δ→0,得23ΔΔxy()Δx31lim==limlim不存在.221Δ→xx00Δ+ΔxyΔ→2⋅ΔxΔ→x0Δ=Δ→yx02(Δx)3即f在点(0,0)沿
7、方向l的方向导数不存在.注意方向导数是沿任意指定方向的变化率,偏导数是沿坐标轴方向的变化率,故可将方向导数看作偏导数的推广.函数在某点处的偏导数都存在,并不意味着函数在该点处沿任一方向l的方向导数也存在,但是如果函数在该点处是可微的,则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在.222235.求函数uxyz=++在曲线x=t,ytzt=,=上点(1,1,1)处,沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.解先求曲线在给定点的切线方向.因为dddxyz2===1,2,tt3,dddttt所以曲线在点(1,1,1)处的切线的方向向量
8、为T=(1,2,3),与T同向的单位向量为123eT=(,,),141414又因为∂∂∂uuu(1,1,1)=(1,1,1)==(1,1,1)2,∂∂∂xyz所以∂u1236(1,1,1)=⋅
