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《第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (5)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节隐函数的微分法习题8-51.求下列方程所确定的隐函数yyx=()的一阶导数:22y(1)xyya−=ln;(2)lnxy+=arctan.xdy解(1)法1用隐函数求导公式求.dx1令Fxyxy(,)=−−lnya,则FyFxxy=,=−,所以y2dyyFxy=−=−=.d1xFx1−yyx−ydy法2用隐函数求导法则求.dx等式两边对x求导,注意y是x的函数,有d1yydyx+−=0,ddxyx所以2dyyy−==.d1x1−xyx−ydy(2)法1用隐函数求导公式求.dx22y令Fxy(,)ln=+xy−arc
2、tan,则x121xyx+yFx=⋅−⋅()−=,22++22y2x222xy+xy2xy1()+x121yy1−xFy=⋅−⋅=,22++22y2xx22+yxy2xy1()+x所以xy+22dyxFxxy++y=−=−=.dxFxyx−−yy22xy+1dy法2用隐函数求导法则求.dx等式两边对x求导,注意y是x的函数,有ddyyx+yx−y11ddxx⋅=⋅,222222xyxy++yx1+2x化简得ddyyx+yxy=−,ddxx所以dyxy+=.dxxy−2.求下列方程所确定的隐函数z=zxy(,)的一价偏导数
3、:−++()xyzxz(1)e=++xyz;(2)=ln.zy∂z∂z解(1)法1用隐函数求导公式求,.∂x∂y−++()xyz令Fxyz(,,)e=−−−xyz,则−++()xyz−++()xyzFx=⋅e(−1)−1=−−e1,由对称性可得−++()xyzFFyz==−e1−,所以∂zFx∂zFy=−=−1,=−=−1.∂xFz∂yFz∂z∂z法2直接用复合函数求偏导数的方法求,.∂x∂y等式两边对x求偏导,注意z是x和y的二元函数,则有−++()xyz∂zz∂e(⋅+=+1)1,∂x∂x所以−++()xyz∂−z1
4、e==−1,∂x−++()xyz−e1同理,由对称性可得2∂z=−1.∂y∂z∂z法3用全微分形式不变性求,.∂x∂y将x,,yz均看作自变量,方程两边同时取全微分,得−++()xyzde=d(x++yz),即−++()xyzed[−()x++=++yz]d()xyz,−++()xyz−+e(ddd)dddxyzxyz+=++,这时,再将z看作x,,yz的函数,解出z的全微分dz,有−+++()xyz−++()xyz1e++1edddz=+=xy−dx−dy，−++()xyz−++()xyz−−−−e1e1所以∂zz∂=
5、−=1,1−.∂∂xy(2)法1公式法.xz令Fxyz(,,)=−ln,则zy1yz1Fx=,Fy=−⋅−=()2,zzyyxyx1+zFz=−−⋅=−,z22zyz所以2∂zFx1zz=−==,∂+xFzxzxzz+∂−zzF122zy=−=−=.∂+yFyzxzy()xz+法2复合函数求导法.等式两边对x求偏导,得∂zzx−∂xyz1∂∂z∂z=⋅,即z−=xz,z2zyx∂∂x∂x所以3∂zz=.∂xxz+等式两边对y求偏导,则有∂zyz−2xzy∂∂y∂∂zzz−=,即−=−xz,zy22∂yz∂∂yyy所以2∂
6、zz=.∂yyxz()+法3全微分法.方程两边同时取全微分,得xzdd=ln,zy即zddxxzyyzzy−dd−=⋅,zy22z11x1ddddx−=−zzy,zz2zy解出112zyzzdddz=+xy=+ddxy,xx11xz++yxz()++zz22zz所以2∂∂zzzz==,.∂+∂xxzyyxz()+注意对于隐函数求导,一般有三种方法:公式法,复合函数求导法,全微分法,在不同的情况下,各有方便之处,但必须注意:在等式两边关于x或y求偏导数时,应当将z看作是x,y的函数,而对Fxyz(,,)关于x和y求偏导数时
7、,将z看作是常数.22∂∂zz3.设f可微,且方程yzx+=fyz()−确定了z=zxy(,),计算x+z.∂∂xy22解令Fxyz(,,)=+−yzxfy(−z),则22Ffx=−()yz−,2222Fy=−1()xfyz′′−⋅=−21y2()xyfyz−,42222Fz=−1()xfyz′′−⋅−=+(2z)12()xzfyz−,于是2222∂−zfFx()y−zf()y−z=−=−=,∂xF+−+−xzfy′′22zxzfy22zz12()12()∂−zF12(xyfy′22−z)y=−=−,∂yF+−xzfy′
8、22zz12()所以∂∂22−−′22−zzxfy()2()zzxyzfyzxz+=−∂∂xy+−+−xzfy′′22zxzfy22z12()12()22−−+′22−[(xfyz)]2zxyzfyz()=+−′2212(xzfyz)+−′22yx2()yzfyz==y.+−′2212(xzfyz)4.设方程faxc
