2、,边界为2{(,)xyxy=−1}.22(3)集合既非开集,又非闭集,是有界集;导集为{(,)1xy≤+≤xy5},边界为2222{(,)xyxy+=1}{(,)∪xyxy+=5}.(4)集合是闭集,有界集;导集为集合本身,边界为2222{(,)(xyx−+=1)y1}{(,)(∪xyx−+=2)y4}.2.写出下列函数表达式:(1)将圆锥体的体积V表示为圆锥体斜高l和高h的函数;(2)长、宽、高为x,y,z,内接于半径为1的球面的长方体,将其体积V表示为x,y的函数;222xyz(3)内接于椭球面++
3、=1且长、宽、高分别为2x,2y,2z的长方体,222abc将其体积V表示为x,y的函数.12解(1)设圆锥体的底圆半径为r,则Vr=πh.31222而rlh=−,故π22Vh=−()lh.3111222(2)由题意,()()()1xyz++=,22222222z=−−4xy,即4z=−−xy,故22Vx==−−yzxy4.xy222xyz(3)因为++=1,222abc所以222222xyxyzc=−−(1),1zc=−−,2222abab故22xyV=⋅⋅==2228xyzxyz81cxy−−.22
4、ab3.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.224−−xy(1)z=−−ln(1xy);(2)z=;xy−2z(3)z=−1y;(4)u=arcsin.22x+y解(1)函数的定义域为{(,)1xyxy+<}.此定义域的图形如图8.1阴影部分所示.⎧⎪xy22+≤4,22(2)函数的定义域为⎨或{(,)xyx+y≤4且x≠y}.此定义域的⎪⎩xy≠,图形如图8.2阴影部分所示.2图8.1图8.2图8.32(3)函数的定义域为10−≥y即y≤1或{(,)xyx∈R,y≤1}.此定义域的图形如图8.3阴
5、影部分所示.⎧z⎪−≤11≤,⎧⎪z≤+xy22,22(4)函数的定义域为⎨xy+即⎨22⎪22⎪⎩xy+≠0,⎩xy+≠0,或2222{(,,)xyzz≤+xy且xy+≠0}.此定义域的图形如图8.4阴影部分所示.图8.4yx4.已知f(,)xy=+xy,求f(,xyx+y).()x+yxy解f(,xyxyx+=)()y++(xy).y225.已知f(,xy+=)xy−,求f(,)xy.x3y解令x+=yu,=v.xuuv当v≠−1时可解得xy==,,于是11++vv2uu22vv11−−22vf(,
6、)(uv=−=)()u=u,11++vv(1+v)21+v所以1−y2fxy(,)=x(y≠−1).1+y当v=−1时,0u=,此时yx=−,所以fuv(,)0=,故fxy(,)0=(1y=−).因此⎧1−y2⎪xy,≠−1,fxy(,)=⎨1+y⎩⎪0,y=−1.6.试证函数Fxy(,)lnln=⋅xy满足关系式FxyuvFxuFxvFyuFyv(,)=+++(,)(,)(,)(,).证(,)ln()ln()Fxyuv=⋅xyuv=(lnx+⋅+ln)(lnyuvln)=⋅+⋅+⋅+⋅lnxlnuxv
7、yuyvlnlnlnlnlnln=+++Fx(,uFx)(,vFy)(,uFyv)(,).7.如果n元函数f(,,,)xx12"xn,对任何实数t满足kf(,,,)txtx12""txnn=tfxx(,,,)12x就称f是x12,,,xx"n的k次齐次函数.下列函数是否是k次齐次函数,?k=333x++yz(1)fxyz(,,)=;xyz333(2)f(,,)xyz=+++xyzxyz.3333333()()()tx++tytztxyz()++解(1)ftxtytz(,,)==()()()txtytz3
8、txyz()0=tfxyz(,,),所以此函数是k次齐次函数,0k=.4333(2)f(,,)()()()()()()txtytz=+++txtytztxtytz323333k=txyztx+++()yz≠tfxyz(,,),所以此函数不是k次齐次函数.8.求下列极限:221−xyarcsin(x+y)(1)lim;(2)lim;(,)(1,0)xy→x22+y(,)(0,0)xy→xy22+xy+−11sin(xy)(3)lim;(4)l
