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1、第八章多元函数微分法及其应用习题课机动目录上页下页返回结束作业习题7-10(P137)2，4，5，8，12，13，16，19，20，22，24，26，29，30，35机动目录上页下页返回结束一、基本概念1.多元函数的定义、极限、连续•定义域及对应规律•判断极限不存在及求极限的方法•函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性机动目录上页下页返回结束多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导函数可微方向导数存在偏导数连续机动目录上页下页返回结束二、多元函数微分法显示结构1.分析复合结构(画变量关系图)隐式结构自变量个数=变
2、量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“从外往里,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题•极值的必要条件与充分条件•求条件极值的方法(代入法,拉格朗日乘数法)•求解最值问题•二元函数泰勒公式机动目录上页下页返回结束22例1.已知f(x+y,x−y)=x−y+ϕ(x+y,)且f(x，)0=x,求出f(x,y)的表达式.解
3、法1令u=x+y,v=x−y,则11x=（u+v）,y=（u−v）221212∴f(u,v)=(u+v)−(u−v)+ϕ(u)=uv+ϕ(u)44即f(x,y)=xy+ϕ(x)Qf(x)0,=x,∴ϕ(x)=xf(x,y)=x(y+)1解法2Qf(x+y,x−y)=(x+y)(x−y)+ϕ(x+y)∴f(x,y)=xy+ϕ(x)以下与解法1相同.机动目录上页下页返回结束xy例2讨论二重极限lim时,x→0x+yy→0下列算法是否正确?1解法1原式=lim=0x→011y→0+yxk解法2令y=kx,原式=limx=0x→01+k解法3令x=rcosθ,y=
4、rsinθ,rcosθsinθ原式=lim=0r→0cosθ+sinθ机动目录上页下页返回结束分析:xy1解法1×lim=lim=0x→0x+yx→01+1y→0y→0yx此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,第二步x11未考虑分母变化的所有情况,例如,y=时,+=,1x−1yx此时极限为1.k解法2×令y=kx,原式=limx=0x→01+k2此法排除了沿曲线趋于原点的情况.例如y=x−x时32x−x原式=lim=−12x→0x机动目录上页下页返回结束解法3×令x=rcosθ,y=rsinθ,rcosθsinθ原式=lim=0r→0cosθ+sinθπ
5、此法忽略了θ的任意性,当r→,0θ→−时4rcosθsinθrcosθsinθ=极限不存在!cosθ+sinθ2sin(π)4+θ由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.同时还可看到,本题极限实际上不存在.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,θ的变化应该是任意的.机动目录上页下页返回结束(y−x)x例3求极限lim.x→0x2+y2y→0解令x=ρcosθ,y=ρsinθ,(ρ>)0则(x,y)→)0,0(等价于ρ→.02(y−x)xρ(sinθ−cosθ)cosθ0≤=22x+yρ
6、=ρ(sinθ−cosθ)cosθ≤2ρ,(y−x)x故lim=.0x→0x2+y2y→0机动目录上页下页返回结束xy+1−1例4证明lim不存在。x→,0y→0x+yxy+1−1xy证明：=x+y(x+y)(xy+1+)1)1(沿y=kx(k≠−)1趋于)0,0(时,2kx原式=lim=0x→0x1(+k)(kx2+1+)1y=kx2)2(沿y=x趋于)0,0(时,3x原式=lim=0x→0x1(+x)(x3+1+)12y=x机动目录上页下页返回结束xyx)3(设=,1则y=,x+yx−1x当(x,y)沿y=趋于)0,0(时,x−111原式=lim=≠0
7、x→0x2xx+1+1y=x−1x−1故所求极限不存在。机动目录上页下页返回结束⎧ln(1+xy)⎪x≠0例5证明：f(x,y)=⎨x⎪⎩yx=0在其定义域上处处连续。ln(1+xy)证明：x≠0时，f(x,y)=，显然连续。xx=0时，即在y轴上,)1(y=,0即在)0,0(点,(i()x,y)沿y轴(即x=)0趋于)0,0(点,limf(x,y)=limf,0(y)=limy=0(x,y)→)0,0(y→0y→0x=0机动目录上页下页返回结束(ii()x,y)沿x轴(即y=)0趋于)0,0(点,limf(x,y)=limf(x)0,=0(x,y)→)0
8、,0(x→0y=0(iii()x,y)沿其它路径(即x≠,0y≠)
