多元函数微分法及其应用习题课

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1、第八章习题课（二）一空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线设曲线参数方程为在对应处的切点：切向切线方程法面方程1如果曲线的方程为切点为可以视方程中的y,z为x的函数，求得切向量或者视方程中的x,z为y的函数，求得切向量2如果曲面方程为切点为法向为切面方程为法线方程为3例1在曲线上求一点P，使该曲线过该点的切线平行于平面并写出切线方程。解该曲线的切向量已知平面法向量由于所以因此所求点或切线方程为或4例2求曲线在点处的切线与法平面方程。解法一两边对y求导，因此切向量切线方程或法平面方程或5解法二先求曲面在点处的切平面

2、方程，令则在点处的法向量为切面方程为即所以所求的切线方程为其方向向量为所求曲线的法平面方程6例3求过直线且与曲线在点处的切线平行的平面方程。解过已知直线的平面束方程为其法向量为曲线方程两边对x求导得即7由于因此所以因此已知曲线在点处切向量代入平面束方程得所求平面方程为8例4设为可微函数，且曲面通过点求曲面过该点的切平面与法线方程。解令则曲面方程为因此曲面在点的法向量切平面方程或法线方程或9例5证明曲面上任意一点处的切平面在三个坐标轴截距的平方和为常数。证设为曲面上任意一点，则令令则曲面在处的法向量为切平面方程10即截距式

3、方程所以11例6证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点.证设曲面上任意一点为由于所以曲面在点P处法向量为切面方程为12即所以切平面过原点。13二方向导数与梯度设函数一阶偏导数连续，方向l的方向余弦为则u在点M处沿l方向的方向导数为梯度为且指向函数u的函数值增加的一方。函数u在点M处取最大方向导数的方向。其模为最大方向导数函数u在点M处梯度的方向为函数u过点M的等值面的法向，函数u在点M处梯度的方向为14例7求函数在点处沿点A指向点方向的方向导数。解15例8求函数在点处的最大方向导数，沿x轴负向的方向导数。及其取最大方向导

4、数的方向，在点处解根据梯度的定义，梯度的方向为取最大方向导数的方向，梯度的模为最大方向导数。所以取最大方向导数的方向为沿x轴负向的方向导数为16例9求函数在点处沿曲面在此点处沿内法向的方向导数。解曲面在点处的法向为内法向所以17例10求函数在点处沿曲线在此点的内法线方向的方向导数。因此法线方向为因为曲线的斜率为所以法线的斜率为解法一内法线方向为所以18解法二曲线在点P处的内法向刚好为函数过点P的等值线的法向，且指向函数值z增加的方向，由梯度的几何意义知19三函数的极值，最值，拉格朗日乘子法偏导数存在函数的极值点一定是驻点

5、。如果为函数的驻点，且若当时，为极大值点，当时，为极大值点，若不是极值点。求有界闭区域D上的最值即为比较D的内部的驻点的函数值与D的边界上的最值的大小。函数在条件下的极值一定是的极值。20例11求函数的极值。解得驻点当时，与因此函数在点处取极大值当时，因此函数在点处不取极值21例12求函数在闭区域的最大、最小值。解得的驻点下面求函数在上最值，即求的最值，最小值（当时，最大值（当时，而因此22例13求过点（1，2，3）的一个平面，使其第一象限部分与三坐标面围成的立体的体积最小。解设所求平面方程为过点因此令则23因此代入得根

6、据题意知最小体积的四面体存在，因此所求的平面为最小体积为24例14在椭球面上求距离平面的最远、最近点，并求最长、最短距离。解设为椭球面上任意一点，其到已知平面的距离为方便起见，作拉格朗日函数则由25得代入得由于所以最近点为最远点最短距离为最长距离为26求曲线例15到的最短距离。解设为曲线上任意一点，则其到xoy面的距离作拉格朗日函数则由或所以最短距离为2728