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1、第七讲多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则多元复合函数的五种基本类型类型举例复合关系图求导法则注一中间变量，多自变量外层一元，内层多元多中间变量，一自变量外层多元，内层一元多中间变量，多自变量外层多元，内层多元一个变量既是中间变量又是自变量多个变量既是中间变量又是自变量注一个关键：画出复合关系图.三点注意：勿漏中间变量分清层次关系搞清对谁求偏导，把谁看成常数多元
2、复合函数的高阶偏导数高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系依次求导先四则,后复合注意符号的含义一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则F(x,y)=0F(x,y,z)=0Fx表示F对x求偏导分子和分母不要颠倒不要丢掉负号一个方程确定的隐函数两个方程确定的隐函数组确定因变量个数与自变量个数.明确变量个数与方程个数确定因变量个数方程个数确定自变量个数变量个数方程个数(1)(2)明确因变量与自变量.题目要求(3)方程两边求偏导.多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习多元函
3、数微分法习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题例1设求1．简单、具体函数2．复合函数：外层具体、内层具体例2设求例3设求例4设求例5设求例6设求例7设求例8设求3．复合函数：外层抽象、内层具体4．简单函数与复合函数的运算例9设求例10设求例11设求例12设求例13设求例14设求5．复合函数：外层抽象、内层抽象多层复合二、题型练习（一）多元复合函数求导
4、法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题（二）隐函数求导法1．一个方程确定2．两个方程确定（二）隐函数求导法1．一个方程确定2．两个方程确定例15设求例16设求方程由具体函数构成方程由抽象的简单函数构成例17设由方程F(x,y,z)=0确定,证明方程由抽象的复合函数构成例18设由方程确定,证明例19设由方程确定,计算（二）隐函数求导法1．一个方程确定2．两个方程确定（二）隐函数求导法1．一个方程确定2．两个方程确定
5、例20例21两个方程均由具体函数构成一个具体、一个抽象设（1）若是上述方程确定的隐函数，求（2）若是上述方程确定的隐函数，求设z=z(x,y)由方程确定，求例22例23两个抽象设确定，z=z(x,y)由方程求证求设z=z(x,y)由方程确定，二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题例24例25设求设确定，t由方程求证例26设确定，由方程组求二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）
6、隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题原理设z可微u、v为自变量u、v为中间变量u=u(x,y)、v=v(x,y)无论u、v为自变量还是中间变量，z的全微分形式是一样的全微分形式不变性应用无论u、v为自变量,还是任意多元函数均成立全微分公式例27例28例29例30求设求设求设求设例31设确定，t由方程求证二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习（
7、一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题(五)杂题1．变量代换2．变上限函数(五)杂题1．变量代换2．变上限函数例32设化为将极坐标r和θ表示的式子.例33设u=f(x,y)是可微函数（1）如果u=f(x,y)满足证明u=f(x,y)在极坐标系中只与θ有关.（2）如果u=f(x,y)满足证明u=f(x,y)在极坐标系中只是r的函数.例34以u,v作为新的变量，变换其中：(五)杂题1．变量代换2．变上限函数(五)杂题1．变量代换2．变上限函数例35设其中f(t)在[0,1]上连续求例36设求例37设
8、f(x,y)具有连续偏导数令求例38设f(x,y)具有连续二阶偏导数，求
